Lorsque le mouvement du système est circulaire, il est plus facile de le décrire dans un repère mobile. Les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération ont alors une expression particulière.
On étudie le mouvement de la Terre autour du Soleil dans le repère mobile \left(T, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) :
Déterminer les composantes du vecteur accélération de la Terre dans ce repère.
Rappeler les propriétés du repère mobile (ou repère de Frenet)
On rappelle les propriétés du repère mobile (ou repère de Frenet).
Le repère mobile (ou repère de Frenet), \left(M, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) est un repère utilisé dans les cas où le point mobile est en mouvement autour d'un point fixe. Il est défini à partir :
- de son origine, située au niveau du point mobile M ;
- d'un vecteur unitaire \overrightarrow{u_N} qui est perpendiculaire à la trajectoire du point mobile M et pointant vers le centre de la trajectoire circulaire ;
- d'un vecteur unitaire \overrightarrow{u_T} qui est tangent à la trajectoire du point mobile M.
Rappeler les expressions des composantes du vecteur accélération dans le repère mobile
On rappelle les expressions des composantes du vecteur accélération dans le repère mobile en fonction de la vitesse.
Dans un repère mobile \left(M, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a} du point mobile M sont liées à sa vitesse \overrightarrow{v} :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r}\end{cases}
La constante r est la distance qui sépare le point mobile et le point autour duquel il est en mouvement.
Faire le bilan des forces subies par le système
On fait le bilan des forces subies par le système et on indique leurs expressions vectorielles en utilisant les vecteurs unitaires du repère mobile (\overrightarrow{u_N} et \overrightarrow{U_T}).
Ici, la seule force subie par le système est l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre, qui est colinéaire au vecteur unitaire \overrightarrow{u_{N}}.
Son expression vectorielle est donc :
\overrightarrow{F_{S/T}}= G\times \dfrac{M_S\times M_T}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
Appliquer la deuxième loi de Newton
On applique la deuxième loi de Newton afin de déterminer l'expression du vecteur accélération du système dans le repère mobile.
D'après la deuxième loi de Newton appliquée au système {Terre} :
M_T \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{S/T}}
Soit :
M_T \times \overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S\times M_T}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
D'où l'expression du vecteur accélération de la Terre dans le repère mobile :
\overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
En déduire les expressions des composantes du vecteur accélération
On en déduit les expressions des composantes du vecteur accélération du système dans le repère mobile.
Puisque :
\overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
Les expressions des composantes du vecteur accélération sont donc :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} =0\cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{r}=G\times \dfrac{M_S}{r^2}\end{cases}