On peut résoudre dans \mathbb{C} une équation du second degré à coefficients réels ax^2+bx+c= 0 dont le discriminant est négatif.
Résoudre l'équation suivante dans \mathbb{C} :
z^2-2z+2=0
Etape 1
Calculer le discriminant \Delta
On calcule le discriminant :
\Delta = b^2-4ac
On calcule le discriminant :
\Delta = b^2-4ac
\Delta = \left(-2\right)^2-4\times 1 \times 2
\Delta = -4
Etape 2
Réciter le cours
D'après le cours, on sait que :
- si \Delta \gt 0 , l'équation admet deux solutions réelles distinctes x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
- Si \Delta = 0 , l'équation admet une solution réelle x_0 = \dfrac{-b}{2a}.
- Si \Delta \lt 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
\Delta \lt 0, l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
- z_1 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}
- z_2 =\overline{z_1}= \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}
Etape 3
Calculer les solutions
On calcule les solutions de l'équation.
On calcule les solutions :
- z_1 = \dfrac{2+i\sqrt{4}}{2}=1+i
- z_2 =\overline{z_1}=1-i
On conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est :
S=\left\{ 1-i;1+i \right\}