Sommaire
Méthode 1En utilisant les arguments 1Réciter le cours 2Expliciter la condition 3Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} 4ConclureMéthode 2En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires 1Réciter le cours 2Calculer les coordonnées des vecteurs 3ConclureEn utilisant les arguments
On peut démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en utilisant les arguments.
Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :
z_A = 1+2i, z_B= 4+3i, z_C = 8-i, z_D = 2-3i
Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Réciter le cours
On rappelle que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Expliciter la condition
On a :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)
On en déduit que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Finalement, on en conclut que \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un réel.
Or, on sait que :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)
Donc les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}, c'est-à-dire si et seulement si \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}.
Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}
On calcule le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}.
On a :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{2-3i-\left(8-i\right)}{4+3i-\left(1+2i\right)}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-6-2i}{3+i}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\left(-6-2i\right)\left(3-i\right)}{3^2+1^2}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-18+6i-6i+2i^2}{3^2+1^2}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-20}{10}
Finalement :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =-2
Conclure
Si le nombre complexe obtenu est réel, on conclut au parallélisme des deux droites.
On a bien :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}
Ainsi :
arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}
On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :
z_A = -3-i, z_B= 4+3i, z_C = 3+3i, z_D = -11-5i
Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Réciter le cours
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
\left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{CD}, avec k \in \mathbb{R}, c'est-à-dire si et seulement si z_{\overrightarrow{AB}}=k z_{\overrightarrow{CD}}, avec k \in \mathbb{R}.
Calculer les coordonnées des vecteurs
On calcule les affixes de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}.
On a :
- z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4+3i-\left(-3-i\right)=4+3+3i+i=7+4i
- z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C=-11-5i-\left(3+3i\right)=-11-3-5i-3i=-14-8i
Conclure
On montre que \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}. On conclut quant à la colinéarité des deux vecteurs et donc au parallélisme des deux droites.
On remarque que z_{\overrightarrow{CD}}=-2z_{\overrightarrow{AB}}.
On a donc \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}. On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Ainsi, les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles.