Sommaire
1Identifier un point comme le milieu des deux autres 2Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points 3En déduire l'expression des coordonnées du symétrique 4Rappeler les coordonnées des points connus 5ConclureLorsqu'un point B est l'image d'un point A par la symétrie de centre I, on peut déterminer les coordonnées de B à partir des coordonnées des deux autres points.
On considère les points A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right). Déterminer les coordonnées de B, image de A par la symétrie de centre I.
Identifier un point comme le milieu des deux autres
On explique que, comme B est l'image de A par la symétrie de centre I, alors I est le milieu du segment \left[ AB \right].
B est l'image de A par la symétrie de centre I. Ainsi, I est le milieu du segment \left[ AB \right].
Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points
On rappelle que, si I est le milieu de \left[ AB\right], alors :
- x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
- y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}
Comme I est le milieu de \left[ AB\right], on sait que ses coordonnées vérifient :
- x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
- y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}
En déduire l'expression des coordonnées du symétrique
On déduit l'expression des coordonnées du symétrique en les isolant dans les relations précédentes. On obtient :
- x_B = 2x_I -x_A
- y_B = 2y_I -y_A
On sait que :
x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
Donc :
2x_I = x_A + x_B
D'où :
x_B = 2x_I -x_A
De même :
y_B = 2y_I -y_A
Rappeler les coordonnées des points connus
On rappelle les coordonnées des points A et I.
Or, on sait que A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right).
Conclure
On effectue le calcul de x_B et de y_B, puis on conclut en donnant les coordonnées de B.
On en déduit que :
- x_B =2\times \left(-1\right)-4 = -2-4 = -6
- y_B = 2 \times 2 -5 = 4-5 = -1
Par conséquent, le point B a pour coordonnées \left(-6;-1\right).