Les vecteurs et les opérations entre vecteurs
Les vecteurs sont des objets mathématiques utilisés très fréquemment en physique pour modéliser l'action d'une force sur un objet. Les vecteurs symbolisent aussi un « flux » : on peut notamment représenter l'intensité et la direction du vent par des vecteurs. Les vecteurs sont aussi utilisés en informatique, et plus particulièrement en intelligence artificielle mais aussi dans les jeux vidéo. Les vecteurs sont des outils indispensables pour étudier la géométrie.
Définitions
Le vecteur
Vecteur
Soient deux points A et B dans le plan. On notera \overrightarrow{AB} le vecteur associé à la flèche qui relie le point A et le point B. Le vecteur \overrightarrow{AB} est caractérisé par :
- sa direction, c'est la droite (AB) ;
- son sens, qui va de A vers B ;
- sa norme, c'est la longueur AB.
On confond parfois la direction et le sens d'un vecteur.
- La direction d'un vecteur est la direction de la droite qui porte le vecteur.
- Le sens du vecteur détermine le point de départ et le point d'arrivée, il est indiqué par la pointe de la flèche. Autrement dit le sens du vecteur est celui dans lequel on parcourt la droite.
Lorsque l'on veut désigner un vecteur sans préciser de point d'attache, on utilise la notation \overrightarrow{u}.
Les deux flèches ne représentent pas le même vecteur, puisqu'elles sont de sens opposé (mais de même direction et de même norme).
Les flèches suivantes représentent le même vecteur.
La translation
Les translations sont une manière de comprendre les vecteurs. À chaque translation on peut faire correspondre un unique vecteur, et à chaque vecteur on peut faire correspondre une unique translation.
Translation
La translation est une opération qui fait glisser chaque point dans le plan selon une direction, un sens et une distance donnés.
Le triangle C'D'E' est l'image du triangle CDE par la translation qui transforme A en B.
On peut identifier :
- la translation qui transforme le point A du plan en B ;
- le vecteur \overrightarrow{AB}.
De plus, pour un vecteur \overrightarrow{u} quelconque du plan, on peut associer :
- la translation qui a un point A associe le point B tel que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} ;
- le vecteur \overrightarrow{u}.
Le vecteur nul
Vecteur nul
Le vecteur nul est le vecteur associé à la translation qui ne bouge aucun point du plan. On note le vecteur nul \overrightarrow{0}.
Pour n'importe quel point A du plan, le vecteur \overrightarrow{AA} est égal au vecteur nul. Autrement dit :
\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}
Les vecteurs égaux
Vecteurs égaux
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont égaux si et seulement s'ils ont :
- le même sens ;
- la même direction ;
- la même norme.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont égaux dans l'image ci-dessous.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs translations associées sont les mêmes.
Deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Dans ce cas, les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BD} sont aussi égaux.
Les opérations avec les vecteurs
Les vecteurs peuvent faire l'objet de différentes opérations. Ils peuvent être additionnés, soustraits et multipliés par un nombre réel quelconque.
La somme de deux vecteurs
Soient deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. Alors le vecteur \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} est défini comme la flèche résultant de la juxtaposition des flèches qui représente \overrightarrow{u} avec celle de \overrightarrow{v}.
Avec le point de vue des translations, la translation associée au vecteur \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} est la translation associée au glissement selon \overrightarrow{u} puis selon \overrightarrow{v}.
Le produit d'un vecteur par un réel
On peut multiplier un vecteur par un réel (même nul). Cette opération :
- ne change pas sa direction ;
- multiplie sa norme par |k| ;
- change le sens du vecteur si k < 0 ou conserve le sens du vecteur si k > 0.
Le vecteur \overrightarrow{CD} = 2 \times \overrightarrow{AB} :
- les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc la direction est inchangée ;
- le sens est conservé.
Le vecteur \overrightarrow{CD} = -2 \times \overrightarrow{AB} :
- les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc la direction est inchangée.
- le sens n'est pas conservé.
Les propriétés et les applications des vecteurs
La relation de Chasles permet souvent de prouver l'égalité de deux vecteurs sans calculs.
Prouver que deux vecteurs sont colinéaires permet de montrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.
La relation de Chasles
Soient A, B et C trois points du plan. Alors :
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
On a ainsi les relations :
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC}
La colinéarité de deux vecteurs
Définition de la colinéarité
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont dits colinéaires s'il existe \lambda \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v}
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction (mais pas forcément le même sens, ni la même norme).
L'application de la colinéarité
Soient A, B, C trois points dans le plan. Les trois points sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
La propriété fonctionne encore si les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{CA} sont colinéaires.
Soient A, B, C et D quatre points du plan. Alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Les coordonnées d'un vecteur dans le plan
Des calculs avec les coordonnées des vecteurs sont possibles. Pour cela, il faut introduire la notion de repère qui permet ensuite de définir les coordonnées d'un vecteur.
Le repère et la base du plan
Le repère du plan
Pour faire des calculs avec les vecteurs, il est nécessaire de choisir un repère.
Repère du plan
Soit O un point du plan. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires. Alors (O; \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}) forme un repère du plan. Le point O est appelé l'origine du repère.
On représente presque toujours les repères en attachant l'origine des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} au point O.
Il existe une infinité de repères possibles dans le plan.
La base orthonormée et le repère orthonormé
Parmi tous les repères possibles, certains permettent des calculs plus faciles pour calculer la norme d'un vecteur. Ce sont les repères orthonormés.
Base orthonormée
Une base orthonormée du plan est un couple de vecteurs (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) tel que :
- leurs directions soient orthogonales ;
- et leurs normes valent 1.
Sur l'image, on observe une base orthonormée.
Sur l'image, on observe une base non orthonormée, car un des vecteurs n'a pas une norme égale à 1.
Sur l'image, on observe une base non orthonormée, car les vecteurs n'ont pas des directions orthogonales.
Repère orthonormé
Un repère orthonormé est un repère \left(O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) où O est un point du plan et tel que le couple de vecteurs (\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}) forme une base orthonormée.
Par convention, on désigne un repère orthonormé par la notation \left(O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right).
Il existe une infinité de repères orthonormés. On choisit de toujours représenter un repère orthonormé dans la situation où \overrightarrow{\imath} est horizontal et \overrightarrow{\jmath} est vertical.
À partir de maintenant, les repères seront toujours considérés comme orthonormés.
Les coordonnées dans un repère orthonormé
Les vecteurs et les points du plan peuvent être repérés avec un repère et un couple de nombres.
Les coordonnées d'un vecteur
À partir du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), on peut exprimer tous les autres vecteurs du plan dans la base orthonormée (\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}).
Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan. Alors, il existe un unique couple de réels x et y tel que :
\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{\imath} + y \overrightarrow{\jmath}
Coordonnées d'un vecteur
Les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u} du plan dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) sont les nombres réels x et y tels que \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{\imath} + y \overrightarrow{\jmath}. On note alors :
\overrightarrow{u}(x ; y)
Sur l'image suivante sont représentés les vecteurs \overrightarrow{u}\left(3;4\right), \overrightarrow{v}\left(\pi, \pi^2\right), et \overrightarrow{w}\left(-\sqrt{2}, \dfrac{3}{7}\right).
- Le vecteur nul a pour coordonnées \overrightarrow{0}(0;0).
- Le vecteur \overrightarrow{\imath} a pour coordonnées \overrightarrow{\imath}(1; 0).
- Le vecteur \overrightarrow{\jmath} a pour coordonnées \overrightarrow{\jmath}(0; 1).
Les coordonnées d'un point
Pour les coordonnées d'un point, le choix du point à l'origine O a une grande importance.
Coordonnées d'un point
Soit A un point du plan. Les coordonnées du point A dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) sont données par le couple de réels (x,y) tel que :
\overrightarrow{OA} = x \overrightarrow{\imath} + y \overrightarrow{\jmath}
On note alors A(x;y).
Les points A(4; -4), B(-2; 1) et C(0; 3) sont représentés dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right)
Les coordonnées d'un vecteur ou d'un point dépendent du repère choisi.
Si l'on connaît les coordonnées des points A et B dans un repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), alors on peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
On a le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Soient A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) deux points dont on connaît les coordonnées. Alors, le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées :
\overrightarrow{AB}(x_B-x_A; y_B - y_A)
Autrement dit :
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A) \overrightarrow{\imath} + (y_B - y_A) \overrightarrow{\jmath}
Si A(2; 4) et B(\sqrt{2}; \frac{1}{3}), alors \overrightarrow{AB}(\sqrt{2} - 2; - \frac{11}{3}).
Il faut faire attention à l'ordre pour éviter les erreurs de signes. Ce sont les coordonnées de B moins les coordonnées de A pour avoir le vecteur \overrightarrow{AB}. Il y a une « inversion » par rapport au sens de lecture.
Les calculs avec les coordonnées d'un vecteur
Les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel
Grâce à ces propositions, on peut calculer les coordonnées d'une somme de deux vecteurs, ainsi que les coordonnées d'un vecteur multiplié par un scalaire.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soit \overrightarrow{u}(x;y) et \overrightarrow{v}(x'; y') deux vecteurs. Alors, si \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, alors les coordonnées de \overrightarrow{w} sont données par :
\overrightarrow{w} ( x + x'; y + y')
Si \overrightarrow{u}(2; 3) et \overrightarrow{v}(-2; 4), alors \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} a pour coordonnées \overrightarrow{w}(0; 7).
Dans un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soit \overrightarrow{u}(x;y) et k un réel, alors \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u} a pour coordonnées dans ce repère :
\overrightarrow{v} ( k\times x; k \times y)
Soit \overrightarrow{u}(-\sqrt{2}; 5), alors si \overrightarrow{v} = 5 \overrightarrow{u}, alors les coordonnées de \overrightarrow{v} sont données par \overrightarrow{v}(-5\sqrt{2}; 25).
Les coordonnées du milieu d'un segment
Soient A et B deux points du plan muni du repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient (x_A; y_A) et (x_B; y_B) les coordonnées de A et B respectivement. Soit I le milieu du segment [AB]. Alors, les coordonnées de I dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) sont données par :
I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)
Si les points A et B ont pour coordonnées A(2; 3) et B(4; 1), alors le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I\left(3; 2\right).
Le calcul de la norme d'un vecteur et de la distance entre deux points
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on peut calculer la norme d'un vecteur. Cette norme permet aussi de calculer la distance entre deux points dont on connaît les coordonnées.
Soit \overrightarrow{u}(x; y) un vecteur du plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Alors, la norme du \overrightarrow{u} est calculée par :
\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}
Cette propriété devient fausse lorsque \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) n'est pas un repère orthonormé.
Si les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} sont (3; 4) dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), alors :
\| \overrightarrow{u} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
Dans la figure ci-dessous, on a indiqué la longueur des segments.
Par, définition, puisque \|\overrightarrow{AB}\| = AB, en connaissant les coordonnées de A et de B on en déduit la distance AB.
Soient A et B deux points du plan muni du repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient (x_A; y_A) et (x_B; y_B) les coordonnées de A et B respectivement. Alors :
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
On peut échanger le rôle de A et B dans la formule ci-dessus, parce la longueur de AB est la même que la longueur de BA.
Si A(3; 7) et B(-1; 8), alors :
AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (8-7)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
La colinéarité et le déterminant
Le déterminant permet de prouver rapidement à partir des coordonnées de deux vecteurs s'ils sont colinéaires ou non.
Déterminant
Soient \overrightarrow{u}(x;y) et \overrightarrow{v}(x';y') deux vecteurs dont les coordonnées dans le plan sont données dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). On définit le déterminant des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) par le nombre :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = xy' - x'y
Si \overrightarrow{u}(3, 8) et \overrightarrow{v}(9, -2) alors on a :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})= 3 \times (-2) - 9 \times 8 = -6 - 72 = -78
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si \textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0.
On suppose que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires. On note \overrightarrow{u}(x; y) et \overrightarrow{v}(x';y') leurs coordonnées. Alors, par définition de la colinéarité, il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}, c'est-à-dire :
\begin{cases}
x &= kx' \\
y &= ky'
\end{cases}
Donc, si on calcule :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = xy' - x'y = kx'\times y' - x'\times ky' = kx'y' - k x' y' = 0
Donc si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs colinéaires, alors leur déterminant \textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) est bien nul.
Si on suppose que \textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0, alors, toujours en notant (x;y) et (x';y') les coordonnées de \overrightarrow{u} et de \overrightarrow{v} respectivement, on sait que xy' - x'y = 0. On a alors :
xy' - x'y = 0
Autrement dit :
\boxed{xy' = x'y}
On aimerait diviser par x' et y', mais pour cela il faut considérer les cas où ces nombres sont nuls. On procède alors par une disjonction de cas :
x' \neq 0 et y' \neq 0
Si l'on suppose que x' et y' sont tous les deux non nuls, alors on peut diviser l'équation précédente par x' et y' pour obtenir l'égalité :
\dfrac{x}{x'} = \dfrac{y}{y'}
Ainsi, si l'on pose k = \dfrac{x}{x'} = \dfrac{y}{y'}, on vient de montrer qu'il existe un réel k tel que :
\begin{cases} x &= kx' \\ y &= ky' \end{cases}
Autrement dit, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
x' = 0 et y' \neq 0
Si x' est nul et y' et non nul, alors, puisque xy' = x'y (un produit est nul si et seulement si au moins l'un des termes est nul), alors x est nul.
Ainsi, si on pose k = \dfrac{y}{y'} (c'est possible car y'\neq 0), on montre qu'il existe un réel k tel que :
\begin{cases} x &= kx' \\ y &= ky' \end{cases}
Autrement dit, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
x' \neq 0 et y' = 0
Si jamais c'est y' qui est nul et x' qui est non nul, on en déduit de la même manière que k = \dfrac{x}{x'} satisfait
\begin{cases} x &= kx' \\ y &= ky' \end{cases}
Autrement dit, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
x' = 0 et y' = 0
Si jamais x' et y' sont tous les deux nuls, alors \overrightarrow{v} est le vecteur nul, et donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont automatiquement colinéaires.
Dans tous les cas, dès que le déterminant \textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) est nul, on a montré que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
Montrer que les points A(2; 3), B(5; -3) et C(7; -7) sont alignés.
On calcule les vecteurs \overrightarrow{AB}(5-2; -3 -3)= \overrightarrow{AB}(3;-6) et \overrightarrow{AC}(7 - 2; -7 - 3)= \overrightarrow{AC}(5; -10). On calcule alors le déterminant :
\textrm{det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3\times (-10) - (5 \times (-6)) = -30 + 30 = 0
Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires, donc les points A, B, et C sont alignés.
