La notion de fonction
Les notations et le vocabulaire
Une fonction
Une fonction est constituée d'un ensemble de départ \mathcal{D}, et d'un procédé, qui à tout nombre \mathcal{D} associe un unique nombre.
Ce procédé sera, la plupart du temple, un procédé de calcul que l'on souhaite pouvoir appliquer à tous les éléments de l'ensemble \mathcal{D}.
On dit que la fonction f est définie sur l'ensemble \mathcal{D}.
En notant \mathcal{D} l'ensemble des nombres connus en 3e et f le procédé consistant à mettre au carré n'importe lequel de ces nombres, le couple (\mathcal{D}; f) constitue une fonction.
Si f est une fonction qui à tout nombre x d'un ensemble \mathcal{D} associe un nombre y, on note cette fonction :
f:x\mapsto y
La fonction f qui à n'importe quel nombre x associe son carré peut être notée :
f:x\mapsto x^2
L'image d'un nombre par une fonction
Si f est une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D} et si x est un nombre de \mathcal{D}, on appelle image de x par f le nombre obtenu après application du procédé f au nombre x. Il est noté f(x).
Si f est la fonction qui à n'importe quel nombre x associe son carré, alors :
- l'image de 3 par f est f(3)=3^2=9 ;
- l'image de -5 par f est f(-5)=(-5)^2=25 ;
- l'image de 10 par f est f(10)=10^2=100.
Un antécédent d'un nombre par une fonction
Si f est une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D} et si x et y sont deux nombres tels que f(x)=y, alors x est appelé un antécédent de y par f.
Si g est la fonction qui ajoute 5 au double de n'importe quel nombre, on peut la noter :
g:x\mapsto 2x+5
Alors g(10)=2\times 10+5=25.
Le nombre 25 est donc l'image de 10 par la fonction g.
Le nombre 10 est un antécédent de 25 par la fonction g.
- Un nombre peut avoir aucune ou une image par une fonction.
- Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents par une fonction.
- Tout nombre de \mathcal{D} n'a qu'une seule image par f.
Soit f la fonction qui associe à n'importe quel nombre non nul son inverse.
Soit g la fonction qui associe à n'importe quel nombre son carré.
Le nombre 0 n'a pas d'image par f car \dfrac{1}{0} n'a pas de sens.
0 n'est pas dans l'ensemble de départ \mathcal{D} de f.
En revanche, le nombre 0 a une image par g : g(0)=0^2=0. L'image de 0 par g est 0.
0 est donc bien dans l'ensemble de départ \mathcal{D} de g.
Le nombre 4 a un antécédent par la fonction f : f(0{,}25)=\dfrac{1}{0{,}25}=4.
Le nombre 4 a un seul antécédent par f : 0,25.
Le nombre 4 a deux antécédents par la fonction g : g(-2)=(-2)^2=4 et g(2)=2^2=4.
Le nombre 4 a deux antécédents par g : -2 et 2.
En revanche, le nombre -4 n'a pas d'antécédent par g : il n'existe pas de nombre x parmi ceux connus en 3e tels que x^2=-4.
Un tableau de valeurs d'une fonction
On appelle tableau de valeurs d'une fonction f un tableau à deux lignes dont :
- la première contient des nombres admettant une image par la fonction f ;
- et la deuxième contient les images de ces nombres par la fonction f.
Soit f la fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre 5x-3.
En choisissant pour x les nombres entiers entre -5 et 5, on obtient le tableau de valeurs suivant :
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | -28 | -23 | -18 | -13 | -8 | -3 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 |
La représentation graphique d'une fonction
La représentation graphique d'une fonction
On considère le plan muni d'un repère (O; I, J).
On appelle représentation graphique de la fonction f dans le repère (O; I, J) l'ensemble des points de ce repère de coordonnées (x;f(x)) où x décrit l'ensemble des nombres admettant une image par f.
On note f la fonction carrée.
On peut obtenir une représentation graphique de cette fonction dans un repère en utilisant un logiciel de géométrie dynamique.
On obtient par exemple :
L'image d'un nombre x par une fonction f est l'ordonnée du point d'abscisse x de la courbe de f.
L'image par la fonction f du nombre 2 est 4 car l'ordonnée du point d'abscisse 2 de la courbe de f est 4.
Les éventuels antécédents d'un nombre y par une fonction f sont les abscisses des points de la courbe de f d'ordonnée y.
La courbe de f admet deux points d'ordonnée 4.
Ces points ont pour abscisses -2 et 2.
Fonctions affines
La définition
Une fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie pour tout nombre x et admettant une expression du type f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres.
Les fonctions f et g définies pour tous les nombres par f(x)=3x et g(x)=(x-2)(x+3)-x^2 sont des fonctions affines.
La fonction f admet une expression du type f(x)=ax+b avec a=3 et b=0. C'est donc bien une fonction affine.
Pour tout nombre x, g(x)=x^2+3x-2x-6-x^2=x-6. La fonction g admet donc une expression du type g(x)=ax+b avec a=1 et b=-6. C'est donc bien une fonction affine.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=ax+b où a et b sont des nombres fixes.
Pour tous nombres x et y distincts, on a :
\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=a
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-3x+7.
Alors :
\dfrac{f(20)-f(10)}{20-10}=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=-3
Soit f une fonction affine d'expression f(x)=ax+b.
On peut énoncer la propriété précédente comme ceci :
Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents et le coefficient de proportionnalité est a.
On considère la fonction affine f d'expression f(x)=5x-2.
Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents.
Autrement dit, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la deuxième est 5.
| 5 | 2 | 3 |
| 25 | 10 | 15 |
Connaissant deux images d'une fonction affine f, on peut en déterminer une expression.
On note f la fonction affine telle que f(1)=5 et f(3)=2.
On sait que la fonction f admet une expression du type f(x)=ax+b.
Ainsi, f(1)=5 revient à dire a\times 1+b=5, soit a+b=5.
Or, \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=a, donc \dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{-3}{2}
Ainsi a=\dfrac{-3}{2}.
Comme a+b=5, on en déduit :
b=5-a=5-\left(\dfrac{-3}{2}\right)=\dfrac{13}{2}
Ainsi, une expression de f est :
f(x)=\dfrac{-3}{2}x+\dfrac{13}{2}
On vérifie aisément que f(1)=5 et f(3)=2.
Ainsi, la fonction affine vérifiant f(1)=5 et f(3)=2 est unique et admet pour expression :
f(x)=\dfrac{-3}{2}x+\dfrac{13}{2}
La représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
On note f la fonction affine d'expression f(x)=-2x+7.
Sa représentation graphique dans le repère suivant du plan, c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)), est bien une droite :
L'équation réduite d'une droite représentant une fonction affine
Soit f une fonction affine d'expression f(x)=ax+b.
On appelle équation réduite de la droite représentant cette fonction dans un repère du plan l'équation :
y=ax+b
On reprend la fonction affine f d'expression f(x)=-2x+7.
La droite représentant cette fonction dans un repère du plan admet pour équation réduite :
y=-2x+7
Le coefficient directeur d'une droite représentant une fonction affine
Soient f une fonction affine d'expression f(x)=ax+b et \mathcal{D} la droite représentant la fonction f dans un repère du plan.
La droite \mathcal{D} admet pour équation réduite y=ax+b.
Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite \mathcal{D}.
On reprend la fonction affine f d'expression f(x)=-2x+7.
La droite représentant cette fonction dans un repère du plan admet pour équation réduite :
y=-2x+7
Son coefficient directeur est a=-2.
Ce nombre est appelé ainsi car il donne une information sur la direction de la droite.
En effet :
- si a>0, la droite « monte » ;
- si a<0, la droite « descend ».
Soient f et g les fonctions affines d'expressions f(x)=-2x+7 et g(x)=5x+1.
On note \mathcal{D}_1 et \mathcal{D}_2 les droites représentant respectivement les fonctions f et g dans un même repère du plan.
Le coefficient directeur de \mathcal{D}_1 est -2 et -2<0, donc la droite \mathcal{D}_1 « descend ».
Le coefficient directeur de \mathcal{D}_2 est 5 et 5>0, donc la droite \mathcal{D}_2 « monte ».
L'ordonnée à l'origine d'une droite représentant une fonction affine
Soit f une fonction affine d'expression f(x)=ax+b et \mathcal{D} la droite représentant la fonction f dans un repère du plan.
La droite \mathcal{D} admet pour équation réduite y=ax+b.
Le nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la droite \mathcal{D}.
On reprend la fonction affine f d'expression f(x)=-2x+7.
La droite représentant cette fonction dans un repère du plan admet pour équation réduite :
y=-2x+7
Son ordonnée à l'origine est b=7.
Ce nombre est appelé ainsi car il correspond à l'ordonnée du point de la droite d'ordonnée 0, c'est-à-dire le point de la droite qui a la même abscisse que l'origine du repère.
On reprend la fonction affine f d'expression f(x)=-2x+7.
La droite représentant cette fonction dans un repère du plan admet pour équation réduite :
y=-2x+7
Son ordonnée à l'origine est b=7.
La droite représentant la fonction f dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0;7).
Les statistiques
Quelques indicateurs
La moyenne d'une série statistique
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs.
Les notes de Thibault en mathématiques, ce trimestre, sont :
14\ ; 16\ ; 12\ ; 18
La moyenne est alors égale à :
m=\dfrac{14+16+12+18}{4}=15
La moyenne pondérée d'une série statistique
On considère une série statistique constituée de valeurs auxquelles sont affectés des coefficients.
La moyenne pondérée de cette série statistique est le quotient de la somme des produits des valeurs par leurs coefficients par la somme des coefficients.
Les notes de Thibault en mathématiques, ce trimestre, sont :
| Notes | 14 | 16 | 12 | 18 |
| Coefficients | 2 | 1 | 2 | 1 |
La moyenne (pondérée) de cette série est alors égale à :
m=\dfrac{14\times 2+16\times 1+12\times 2+18\times 1}{2+1+2+1}\approx 14{,}33
La moyenne de Thibault en mathématiques, ce trimestre, est d'environ 14,33.
La formule de la moyenne pondérée n'est pas réellement une nouvelle formule.
Chaque valeur est affectée d'un coefficient :
- 2 est prise en compte deux fois si le coefficient est 2 ;
- 3 est prise en compte trois fois si le coefficient est 3;
- etc...
Une médiane d'une série statistique
On considère une série statistique dont les valeurs ont été rangées dans l'ordre croissant.
On appelle médiane de cette valeur tout nombre permettant de partager cette série en deux séries de même effectif.
Lorsque l'effectif total N de la série est pair, tout nombre compris entre la valeur de rang \dfrac{N}{2} et la valeur de rang \dfrac{N}{2}+1 convient. En général, on prend la moyenne de ces deux valeurs.
Lorsque l'effectif total N de la série est impair, la valeur de rang \dfrac{N}{2}+0{,}5 sépare exactement la série en deux séries de même effectif.
Voici les pointures des chaussures des élèves d'un groupe :
37\ ; 38\ ; 39\ ; 38\ ; 37\ ; 41\ ; 40\ ; 42\ ; 39\ ; 41\ ; 40\ ; 42\ ; 43\ ; 39\ ; 38\ ; 39\ ; 40\ ; 37
Les mêmes valeurs rangées dans l'ordre croissant donnent la liste suivante :
37\ ; 37\ ; 37\ ; 38\ ; 38\ ; 38\ ; 39\ ; 39\ ; 39\ ; 39\ ; 40\ ; 40\ ; 40\ ; 41\ ; 41\ ; 42\ ; 42\ ; 43
Il y a 18 valeurs :
18\div 2=9
La 9e valeur est 39.
La 10e valeur est 39 également.
Tout nombre compris entre la 9e valeur et la 10e valeur convient.
Ici, le seul nombre qui convient est 39.
On peut donc en conclure que la médiane est 39.
Voici les pointures des chaussures des élèves d'un autre groupe :
37\ ; 38\ ; 38\ ; 37\ ; 41\ ; 40\ ; 42\ ; 39\ ; 40\ ; 42\ ; 43\ ; 38\ ; 39\ ; 40\ ; 37
Les mêmes valeurs rangées dans l'ordre croissant donnent la liste suivante :
37\ ; 37\ ; 37\ ; 38\ ; 38\ ; 38\ ; 39\ ; 39\ ; 40\ ; 40\ ; 40\ ; 41\ ; 42\ ; 42\ ; 43
Il y a 15 valeurs :
15\div 2=7{,}5
La 8e valeur est 39.
Ici, le seul nombre qui convient est à nouveau 39.
L'étendue d'une série statistique
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la valeur la plus basse et la valeur la plus haute.
On reprend les pointures des chaussures des élèves du premier groupe :
37\ ; 38\ ; 39\ ; 38\ ; 37\ ; 41\ ; 40\ ; 42\ ; 39\ ; 41\ ; 40\ ; 42\ ; 43\ ; 39\ ; 38\ ; 39\ ; 40\ ; 37
La pointure la plus petite est 37.
La pointure la plus grande est 43.
L'étendue de cette série est donc la différence entre la plus valeur et la plus basse :
43-37=6
L'étendue d'une série statistique mesure un écart.
C'est un indicateur de dispersion des valeurs qui peut servir à comparer deux séries.
Les fréquences
La fréquence d'une valeur
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total de la série.
Sur une classe de 25 élèves, 12 sont des garçons.
La fréquence des garçons dans la classe est donc égale à \dfrac{12}{25}.
La fréquence d'une valeur est, en général, donnée sous forme décimale, fractionnaire, ou d'un pourcentage.
Sur une classe de 25 élèves, 12 sont des garçons.
La fréquence des garçons dans la classe est donc égale à \dfrac{12}{25}.
Comme \dfrac{12}{25}=\dfrac{48}{100}=48\text{ \%}=0{,}48.
La fréquence est donc égale à 0,48 ou 48 %.
On considère une série statistique de valeurs x_1, x_2, ..., x_n.
Chacune des valeurs x_i a une fréquence f_i.
Le calcul de la moyenne de la série statistique peut s'effectuer à partir des fréquences de la façon suivante :
m=x_1\times f_1+x_2\times f_2+...+x_n\times f_n
Voici le nombre d'enfants par famille des élèves d'une classe et les fréquences de ces valeurs dans la classe :
| Nombre d'enfants par famille | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Fréquences | 20\text{ \%} | 40\text{ \%} | 30\text{ \%} | 10\text{ \%} |
La moyenne du nombre d'enfants par famille est donc :
m=1\times \dfrac{20}{100}+2\times \dfrac{40}{100}+3\times \dfrac{30}{100}+4\times \dfrac{10}{100}
m=2{,}3
Les histogrammes
Un histogramme
Un histogramme est une représentation graphique d'une série statistique dont les valeurs sont des classes.
À chaque classe, on associe un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de cette valeur dans la série.
Il n'y a, en général, pas d'axe des ordonnées sur un histogramme.
Une étude a été menée sur les gains à un jeu au casino, pour lequel les joueurs peuvent gagner entre 0 € et 20 €.
Cette étude porte sur 200 personnes.
Voici les résultats :
| Gains | [0;4[ | [4;6[ | [6;8[ | [8;10[ | [10;14[ | [14;20[ |
| Effectifs | 38 | 50 | 54 | 46 | 20 | 2 |
L'unité d'aire étant choisie comme indiqué sur la figure ci-dessous, on obtient l'histogramme suivant :
Les probabilités
Le vocabulaire
Une expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l'avance.
On lance un dé cubique, non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Il s'agit d'une expérience aléatoire, car le dé n'étant pas truqué, on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Une issue d'une expérience aléatoire
On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat possible de cette expérience.
On lance un dé cubique, non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Les issues possibles sont les nombres entiers de 1 à 6.
Pas la suite, on ne considère que des expériences aléatoires ayant un nombre fini d'issues.
Un événement
On considère une expérience aléatoire.
On appelle événement associé à cette expérience tout ensemble d'issues de l'expérience.
On lance un dé cubique, non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Les issues possibles sont les nombres entiers de 1 à 6.
L'événement « Obtenir un nombre pair » est l'ensemble A=\{2;4;6\}.
L'événement vide, l'événement certain
On considère une expérience aléatoire.
On appelle événement vide l'événement ne contenant aucune issue.
On le note \varnothing.
On appelle événement certain l'événement contenant toutes les issues de l'expérience.
On lance un dé cubique, non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Les issues possibles sont les nombres entiers de 1 à 6.
L'événement « Obtenir un nombre supérieur à 10 » est l'événement impossible, \varnothing.
L'événement « Obtenir un nombre inférieur à 10 » est l'événement certain.
L'événement contraire d'un événement
On considère une expérience aléatoire et un événement A sur cette expérience.
On appelle événement contraire de A l'événement noté \overline{A}, contenant toutes les issues n'appartenant pas à A.
On lance un dé cubique, non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
On note A l'événement « Obtenir un nombre pair ».
Autrement dit :
A=\{2;4;6\}
L'événement contraire de A est l'événement :
\overline{A}=\{1;3;5\}
La notion de probabilité
La probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui sert à exprimer la « chance » qu'a l'événement de se réaliser.
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Chaque événement élémentaire (« Obtenir le 1 », « Obtenir le 2 », « Obtenir le 3 », etc.) a une chance sur six de se réaliser.
Leur probabilité est alors \dfrac{1}{6}.
La probabilité d'un événement correspond à la fréquence de réalisation de l'événement si l'on effectue un grand nombre de fois l'expérience.
Événement impossible, événement certain
Un événement dont la probabilité est égale à 0 est dit événement impossible.
Un événement dont la probabilité est égale à 1 est dit événement certain.
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
L'événement « Obtenir un nombre négatif » est l'événement impossible. Il a une probabilité de 0 : il ne se passera jamais.
L'événement « Obtenir un nombre inférieur à 10 » est l'événement certain. Il a une probabilité de 1 : il se passera toujours.
Situation d'équiprobabilité
On dit qu'une expérience aléatoire est une situation d'équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.
Chaque événement élémentaire (« Obtenir le 1 », « Obtenir le 2 », « Obtenir le 3 », etc.) a une chance sur six de se réaliser.
Leur probabilité est alors \dfrac{1}{6}.
On est donc dans une situation d'équiprobabilité.
Dans un cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement élémentaire est égale à \dfrac{1}{n} où n est le nombre d'issues de l'expérience.
Dans le cas du dé cubique équilibré, il y a 6 issues (1, 2, 3, 4, 5 et 6). Chaque événement élémentaire a une probabilité égale à \dfrac{1}{6}.
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée P(A), est donnée par :
P(A)=\dfrac{\text{Nombre d'issues contenues dans }A}{\text{Nombre total d'issues}}
On reprend l'exemple du dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On considère l'événement A : « Obtenir un nombre pair ».
Alors A=\{2;4;6\}.
Comme c'est une situation d'équiprobabilité :
P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
Soit A un événement sur une expérience aléatoire.
La probabilité de l'événement contraire de A est :
P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
En notant « P » pour « pile » et « F » pour « face », les issues de cette expérience sont :
« PP », « PF », « FP » et « FF »
La pièce étant équilibrée, il s'agit d'une situation d'équiprobabilité.
Notons A l'événement « Ne pas obtenir de pile lors des deux lancers ».
Alors A=\{« FF »\} et donc P(A)=\dfrac{1}{4}.
L'événement contraire de A est l'événement :
\overline{A} : « Obtenir au moins un pile lors des deux lancers »
Sa probabilité est :
P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}