Les suites
La limite d'une suite
Suite divergente
On dit qu'une suite diverge (ou est divergente) lorsqu'elle ne converge pas.
Elle peut donc :
- admettre une limite infinie ;
- ne pas admettre de limite.
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=e^n.
La suite (u_n) tend vers +\infty donc elle est divergente.
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=\cos(n).
La suite (u_n) n'admet pas de limite donc elle est divergente.
Les opérations sur les limites de suites
Pour simplifier l'étude de la limite d'une suite, on peut décomposer la suite en plusieurs suites en suivant les opérations qui la composent.
FI signifie « forme indéterminée ».
On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale quant à la limite de la suite.
Limite d'une somme de suites
Soient (u_n) et (v_n) deux suites de réels définies à partir d'un rang n_0.
Soit (w_n) la suite définie pour tout entier naturel n\geqslant n_0 par w_n=u_n+v_n.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n) en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
- \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty} e^n=+\infty
Donc par somme :
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}+e^n=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty
Donc par somme :
\lim\limits_{n \to +\infty} n^2+ \sqrt n=+ \infty
Limite d'un produit de suites
Soient (u_n) et (v_n) deux suites de réels définies à partir d'un rang n_0.
Soit (w_n) la suite définie pour tout entier naturel n\geqslant n_0 par w_n=u_n \times v_n.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n) en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
- \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt n=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} 3- \dfrac{1}{n}=3
Donc par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt n \left( 3-\dfrac{1}{n} \right)=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} -n=-\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} \ln n=+\infty
Donc par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty} -n \ln n=-\infty
Limite d'un quotient de suites
Soient (u_n) et (v_n) deux suites de réels définies à partir d'un rang n_0.
Soit (w_n) la suite définie pour tout entier naturel n\geqslant n_0 par w_n=\dfrac{u_n}{v_n} pour lequel v_n \neq 0.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n) en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
- \lim\limits_{n \to +\infty} \ln n=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} 7+\dfrac{1}{n}=7
Donc par quotient :
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln n}{\left( 7+\dfrac{1}{n} \right)} =+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty} 2=2
- \lim\limits_{n \to +\infty} e^n=+\infty
Donc par quotient :
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{e^n} =0
Limites de suites et comparaison
Théorème de comparaison
Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que v_n \geqslant u_n à partir d'un certain rang n_0.
Pour tout entier naturel n, on a :
- \sqrt n \leqslant \sqrt n +3
- \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt n =+\infty
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt n +3=+\infty
Pour tout entier naturel n, on a :
- -\ln n -7 \leqslant -\ln n
- \lim\limits_{n \to +\infty} -\ln n =-\infty
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} -\ln n -7=-\infty
Théorème dit « des gendarmes »
Soient trois suites réelles (u_n), (v_n) et (w_n) et un réel \ell tels que :
- u_n \geqslant v_n \geqslant w_n à partir d'un certain rang n_0
- \lim\limits_{n \to \infty} u_n = \lim\limits_{n \to \infty} w_n = \ell
Alors la suite (v_n) converge et \lim\limits_{n \to \infty} v_n = \ell.
Théorème dit « de convergence monotone »
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
Le raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Soit un entier naturel n_0.
On dit que l'on raisonne par récurrence pour démontrer qu'une proposition P_n est vraie pour tout entier naturel n \geqslant n_0 quand on procède de la manière suivante :
Pour tout entier naturel n \geqslant 1, on considère la proposition suivante P_n : 2^n \geqslant n.
On va montrer par récurrence que la proposition P_n est vraie pour tout entier naturel n \geqslant 1.
Initialisation
On montre que la proposition est vraie au rang 1.
On a : 2^1=2.
Donc on a bien 2^1 \geqslant 2.
P_1 est vraie.
Hérédité
Soit k \geqslant 1.
On suppose que P_k est vraie, autrement dit que 2^k \geqslant k.
Alors on a :
2 \times 2^k \geqslant 2 \times k
c'est-à-dire :
2^{k +1}\geqslant 2 k
Et comme k \geqslant 1, on a :
2k \geqslant k+1
On en déduit que :
2^{k+1} \geqslant k+1
P_{k+1} est vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel n \geqslant 1, la proposition P_n est vraie.
Les suites géométriques
Suite géométrique
Soit un réel q. La suite définie pour tout entier n par u_n=q^n est appelée suite géométrique.
Pour tout entier naturel n, on considère u_n=(-3)^n.
On a : -3 \leqslant -1.
Donc cette suite diverge et n'admet pas de limite.
Pour tout entier naturel n, on considère u_n=1^n.
Cette suite converge vers 1.
Pour tout entier naturel n, on considère u_n=\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n.
On a : -1 \lt -\dfrac{1}{2} \lt 1.
Donc cette suite converge vers 0.
Pour tout entier naturel n, on considère u_n=\left( \dfrac{7}{3} \right)^n.
On a : \dfrac{7}{3} \gt 1.
Donc cette suite tend vers +\infty.
Les fonctions
Les limites de fonctions
Les limites possibles d'une fonction
Limites possibles en + \infty
Soit f une fonction de la variable réelle x.
Limites possibles en - \infty
Soit f une fonction de la variable réelle x.
Une fonction n'admet pas nécessairement de limite en +\infty et en -\infty.
La fonction cosinus d'admet de limite ni en +\infty ni en -\infty.
Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers +\infty (ou -\infty ), alors la droite d'équation y=\ell est asymptote à la courbe de f au voisinage de +\infty (ou de -\infty ).
La fonction f tend vers 2 lorsque x tend vers +\infty.
La droite d'équation y=2 est asymptote à la courbe de f au voisinage de +\infty.
Limites possibles en un point a
Soit f une fonction de la variable réelle x.
Limites et comparaison
Théorème de comparaison
- a désigne un nombre réel ou -\infty ou +\infty.
- I est un intervalle tel que a est une borne de I ou appartient à I.
- Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I.
Théorème dit « des gendarmes »
- a désigne un nombre réel ou -\infty ou +\infty.
- \ell désigne un réel.
- I est un intervalle tel que a est une borne de I ou appartient à I.
- Soient f, g et h trois fonctions réelles définies sur I.
Si pour tout réel x \in I, on a :
- f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)
- \lim\limits_{x \to a} f(x)=\lim\limits_{x \to a} h(x)=\ell
Alors :
\lim\limits_{x \to a} g(x)=\ell
Opérations sur les limites
FI signifie « forme indéterminée ».
On parle de forme indéterminée quand on ne peut pas conclure de façon générale quant à la limite de la fonction.
Soient f et g deux fonctions réelles. L et L' désignent deux réels. \alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant donnant la limite de la somme des deux fonctions :
- \lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)=1
Donc par somme :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x +\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)=+\infty
- \lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty
- \lim\limits_{x \to -\infty} -e^x=0
Donc par somme :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^3-e^x=-\infty
Soient f et g deux fonctions réelles. L et L' désignent deux réels. \alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant donnant la limite du produit des deux fonctions :
- \lim\limits_{x \to 0} \ln x = -\infty
- \lim\limits_{x \to 0} e^x = 1
Donc par produit :
\lim\limits_{x \to 0} e^x \ln x = -\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} 3+\dfrac{1}{x} =3
- \lim\limits_{x \to +\infty} 2+e^{-x} =2
Donc par produit :
\lim\limits_{x \to +\infty}\left( 3+\dfrac{1}{x} \right) \left( 2+e^{-x} \right) =6
Soient f et g deux fonctions réelles. L et L' désignent deux réels. \alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant donnant la limite du quotient des deux fonctions :
- \lim\limits_{x \to +\infty} e^x=+\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} \cos\left( \dfrac{1}{x} \right)=1
Donc par quotient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos\left( \dfrac{1}{x} \right)}{e^x}=0
- \lim\limits_{x \to 0} 4+\sin x=4
- \lim\limits_{x \to 0} 1+\cos x=2
Donc par quotient :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+\sin x}{1+\cos x}=2
La limite d'une composée de fonctions
Soient f et g deux fonctions réelles.
a, b et c désignent des réels, -\infty ou +\infty.
Si on a :
- \lim\limits_{x \to a} f(x)=b
- \lim\limits_{x \to b} g(x)=c
Alors :
\lim\limits_{x \to a} g(f(x))=c
- Soit h la fonction définie sur ]0;+\infty[ par h(x)=\cos \left( \dfrac{1}{x} \right).
-
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x}.
-
Soit g la fonction définie sur ]0;+\infty[ par g(x)=\cos x.
On a :
- \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0
- \lim\limits_{x \to 0} g(x)=1
- Pour tout réel x \in ]0;+\infty[, h(x)=g(f(x)).
Alors on a par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=1
Limites faisant intervenir les fonctions de référence
Fonctions polynômes du second degré
Soit f:x\longmapsto ax^2+bx+c une fonction polynôme du second degré () a\neq 0.
Fonctions puissances entières
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^n=+\infty
et
- Si n est pair : \lim\limits_{x \to -\infty} x^n=+\infty.
-
Si n est impair : \lim\limits_{x \to -\infty} x^n=-\infty.
Fonction racine carrée
- \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt x =0
- \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x =+\infty
Fonction exponentielle
- \lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0
- \lim\limits_{x \to +\infty} e^x=+\infty
Croissances comparées
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, on a :
- \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty
- \lim\limits_{x \to -\infty} x^n e^x=0
Au voisinage de l'infini, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.
La dérivation
Dérivée de la composée de deux fonctions
Composée de deux fonctions
Soient :
- une fonction f définie sur un intervalle I de \mathbb{R} à valeurs dans un intervalle J de \mathbb{R} ;
- une fonction g une fonction définie sur l'intervalle J.
On appelle composée de f suivie de g la fonction h définie pour tout réel x de l'intervalle I par :
h(x)=g(f(x))
On note :
h=g \circ f
- Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sin x.
-
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^2.
La composée de f suivie de g est la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=(\sin x)^2.
Soit f une fonction :
- dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} ;
- à valeurs dans un intervalle J de \mathbb{R}.
Soit g une fonction dérivable sur l'intervalle J.
Alors la fonction h=g \circ f :
- est dérivable sur I ;
- est telle que, pour tout réel x \in I : h'(x)=g'(f(x)) \times f'(x).
- Soit f la fonction \ln définie sur ]0;+\infty[, dérivable sur ]0;+\infty[, à valeurs dans \mathbb{R}.
-
Soit g la fonction carrée définie sur \mathbb{R}, dérivable sur \mathbb{R}.
La fonction h=g \circ f est définie sur ]0;+\infty[.
Et pour tout x \in ]0;+\infty[, on a :
- h(x)=(\ln x)^2
- f'(x)=\dfrac{1}{x}
Et pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
g'(x)=2x
Alors la fonction h=g \circ f est dérivable sur ]0;+\infty[ et pour tout x \in ]0;+\infty[ on a :
h'(x)=2 \ln x \times\dfrac{1}{x}=\dfrac{2 \ln x}{x}
Dérivée seconde
Lorsque c'est possible, dériver la dérivée d'une fonction apporte des informations supplémentaires sur la représentation graphique de la fonction de départ. La fonction obtenue s'appelle la dérivée seconde.
Dérivée seconde d'une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si la dérivée f' de la fonction f est dérivable sur un sous-intervalle J inclus dans I, alors sa dérivée est appelée dérivée seconde de la fonction f .
Lorsqu'une fonction f admet une dérivée seconde sur un intervalle I de \mathbb{R}, on note sa dérivée seconde f''.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^3.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}.
Sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f'(x)=3x^2
La fonction f' est dérivable sur \mathbb{R}.
Sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f''(x)=6x
La convexité
Fonction convexe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
On dit que f est convexe sur I si sa courbe représentative dans un repère du plan est toujours située en dessous de ses sécantes entre les deux points d'intersection.
La fonction carrée est convexe sur \mathbb{R}.
La fonction exponentielle est convexe sur \mathbb{R}.
Fonction concave
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
On dit que f est concave sur I si sa courbe représentative dans un repère du plan est toujours située au dessus de ses sécantes entre les deux points d'intersection.
La fonction \ln est concave sur \mathbb{R}^{+*}.
La fonction cube est concave sur \mathbb{R}^{-}.
Une même fonction peut être convexe ou concave suivant l'intervalle considéré.
La fonction inverse est :
- concave sur \mathbb{R}^{-*} ;
- convexe sur \mathbb{R}^{+*}.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit f une fonction dérivable définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
On considère la fonction cube, définie sur \mathbb{R} par x\longmapsto x^3 et dérivable sur \mathbb{R}.
Sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par x\longmapsto 3x^2 et dérivable sur \mathbb{R} qui est croissante sur \mathbb{R}^+ et décroissante sur \mathbb{R}^-.
Par conséquent, la fonction cube est convexe sur \mathbb{R}^+ et concave sur \mathbb{R}^-.
Soit f une fonction deux fois dérivable définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction f définie sur \mathbb{R}^+ par f(x)=3x^2+5x+1 est deux fois dérivable sur \mathbb{R}^+.
Pour tout x \in \mathbb{R}^+, on a :
- f'(x)=6x+5
- f''(x)=6x
- f''(x) \geqslant 0
Donc la fonction f est convexe sur \mathbb{R}^+.
La fonction g définie sur \mathbb{R}^+ par g(x)=1+ \ln x est deux fois dérivable sur \mathbb{R}^{+*}.
Pour tout x \in \mathbb{R}^{+*}, on a :
- g'(x)=\dfrac{1}{x}
- g''(x)=-\dfrac{1}{x^2}
- g''(x) \lt 0
Donc la fonction g est concave sur \mathbb{R}^{+*}.
Point d'inflexion
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère du plan et A un point de la courbe C.
On dit que A est un point d'inflexion pour C si C admet une tangente au point A et si elle traverse cette tangente en A.
Soient f une fonction définie sur un intervalle I, C sa représentation graphique dans un repère du plan et A un point d'abscisse a de sa courbe.
- Si A est un point d'inflexion pour C, alors f change de convexité en a.
- Si de plus f est deux fois dérivable sur I, alors f'' s'annule et change de signe en a.
La continuité
La notion de continuité
Continuité d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
- On dit que f est continue en a si et seulement si \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)
- On dit que f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors f est continue sur I.
Les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, logarithme népérien, exponentielle, sinus, cosinus) sont continues sur leur ensemble de définition.
- La somme de deux fonctions continues sur un intervalle I est une fonction continue sur I.
- Le produit de deux fonctions continues sur un intervalle I est une fonction continue sur I.
- Si deux fonctions f et g sont continues sur I et si g ne s'annule pas sur I, alors la fonction \dfrac{f}{g} est continue sur I.
- La fonction x \longmapsto \cos x est continue sur \mathbb{R}^+.
-
La fonction x \longmapsto \sqrt x est continue sur \mathbb{R}^+.
Par somme, la fonction x \longmapsto \cos x +\sqrt x est continue sur \mathbb{R}^+.
- La fonction x \longmapsto \exp x est continue sur \mathbb{R}.
-
La fonction x \longmapsto x^3 est continue sur \mathbb{R}.
Par produit, la fonction x \longmapsto x^3 \exp x est continue sur \mathbb{R}.
- La fonction x \longmapsto \ln x est continue sur \mathbb{R}^{+*}.
-
La fonction x \longmapsto x+1 est continue sur \mathbb{R}^{+*} et ne s'annule pas sur \mathbb{R}^{+*}.
Par quotient, la fonction x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x+1} est continue sur \mathbb{R}^{+*}.
Les fonctions continues et les suites
Soit (u_n) une suite réelle à valeurs dans un intervalle I et f une fonction continue sur l'intervalle I.
Si la suite (u_n) converge vers un réel \ell de I, alors la suite (f(u_n)) converge vers f(\ell).
Soit (v_n) la suite définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par :
v_n=\cos\left( 1+\dfrac{1}{n} \right).
On considère :
- (u_n) la suite définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par : u_n=1+\dfrac{1}{n} ;
-
f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\cos x.
On a :
-
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, v_n=f(u_n).
-
La suite (u_n) converge vers 1.
-
La fonction f est continue sur \mathbb{R}.
-
f(1)=\cos 1.
Par conséquent, la suite (v_n) converge vers cos1.
Un théorème du point fixe
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et à valeurs dans le même intervalle. Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1}=f(u_n) à partir d'un certain rang.
Si la suite (u_n) converge vers un réel \ell, alors on a :
f(\ell)=\ell
On considère :
- L'intervalle I=[0;1].
- f la fonction définie sur I par f(x)=x^2.
- (u_n) est la suite définie sur \mathbb{N} par : \begin{cases} u_0=0{,}5 \cr \cr u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}.
On a :
- La fonction f est croissante sur I.
- f(0)=0
- f(1)=1
Donc la fonction f est à valeurs dans I.
Si la suite (u_n) converge, alors on a :
f(\ell)=\ell c'est-à-dire \ell^2=\ell
L'équation x^2=x admet deux solutions : 0 et 1.
Ainsi, si la suite (u_n) converge, sa limite est égale à 0 ou 1.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \lt b.
Alors :
- Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c)=k.
-
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b].
-
Tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent par f dans [a;b].
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de savoir s'il existe une solution à l'équation f(x)=k.
Il ne permet pas de calculer la solution de cette équation.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \lt b.
Alors :
- Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c)=k.
-
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b].
-
Tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet un unique antécédent par f dans [a;b].
Soit f la fonction définie sur [0;16] par f(x)=\sqrt x.
On a :
- La fonction f est continue et strictement croissante sur [0;16].
- f(0)=\sqrt 0 =0
- f(16)=\sqrt{16}=4
Par conséquent :
Pour tout k \in [0;4], il existe un unique réel c \in [0;16] tel que \sqrt c=k.
La fonction logarithme népérien
Définition et propriétés algébriques de la fonction ln
Fonction logarithme népérien
Pour tout réel x \gt 0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle.
La fonction ainsi définie est la réciproque de la fonction exponentielle.
On note \ln(x) le logarithme népérien de x.
La dérivée et les variations de la fonction ln
La fonction \ln est dérivable sur ]0;+\infty[. Pour tout réel x \in ]0;+\infty[, on a :
\ln'(x)=\dfrac{1}{x}
La fonction \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
- \lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction \ln \circ u est dérivable sur I et pour tout réel x \in I, on a :
(\ln \circ u)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+1.
La fonction f est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, on a : f'(x)=2x.
Alors la fonction \ln \circ f est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, on a :
(\ln \circ f)'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{2x}{x^2+1}
La courbe représentative de la fonction ln
La courbe représentative de la fonction \ln dans un repère du plan est la suivante :
Les courbes des fonctions \ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Les limites et croissances comparées
Pour tout entier n \in \mathbb{N}^*, on a :
- \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x^n \ln x=0
- \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0
En particulier, pour n=1, on a :
- \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x \ln x=0
- \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0
Pour tout entier naturel n \in \mathbb{N}^*, en +\infty, la croissance de la fonction x\longmapsto x^n est plus rapide que la croissance de la fonction \ln.
Les fonctions trigonométriques
Les fonctions sinus et cosinus
Soient x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x.
Le point M du cercle trigonométrique associé à \dfrac{\pi}{3} a pour abscisse \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) et pour ordonnée \sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right).
La dérivabilité et les variations des fonctions trigonométriques
Les équations et inéquations trigonométriques
Soient deux réels x et y. Alors on a :
On résout l'équation \sin(x)=\sin\left( \dfrac{\pi}{5} \right) sur [-\pi;\pi]
\sin(x)=\sin\left( \dfrac{\pi}{5} \right)\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\text{ ou }x=\dfrac{4\pi}{5}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}
L'ensemble des solutions de l'équation \sin(x)=\sin\left( \dfrac{\pi}{5} \right) sur [-\pi;\pi] est \left\{ \dfrac{\pi}{5};\dfrac{4\pi}{5} \right\}.
On résout l'équation \cos(x)=\cos\left( \dfrac{\pi}{7} \right) sur [-\pi;\pi]
\cos(x)=\cos\left( \dfrac{\pi}{7} \right)\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}
L'ensemble des solutions de l'équation \cos(x)=\cos\left( \dfrac{\pi}{7} \right) sur [-\pi;\pi] est \left\{- \dfrac{\pi}{7};\dfrac{\pi}{7} \right\}.
Soit un réel a.
On résout l'équation \sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} sur [-\pi;\pi]
On a : \dfrac{\sqrt3}{2} \in [-1;1].
Donc l'équation \sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} admet des solutions.
Comme \sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt3}{2}, on a :
\sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\Leftrightarrow\sin(x)=\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}
L'ensemble des solutions de l'équation \sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} sur [-\pi;\pi] est \left\{ \dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3} \right\}.
On résout l'équation \cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} sur [-\pi;\pi]
On a : \dfrac{\sqrt3}{2} \in [-1;1].
Donc l'équation \cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} admet des solutions.
Comme \cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt3}{2}, on a :
\cos(x)=\cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right)\\\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\text{ avec }k \in \mathbb{Z}
L'ensemble des solutions de l'équation \cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2} sur [-\pi;\pi] est \left\{- \dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{6} \right\}.
Soit un réel a. Soit S l'ensemble des solutions dans \left[ -\pi;\pi \right] de l'équation cos(x)\leqslant a.
- Si a\lt -1 alors S=\varnothing
- Si a=1 alors S=\left\{ -\pi;\pi \right\}
- Si -1\lt a\lt 1 alors S\left[ -\pi;-y\right]\cup\left[ y;\pi \right] où y\in \left] 0;\pi \right[ tel que cos (y)=a
- Si a\gt 1 alors S=\left[ -\pi;\pi \right]
On résout l'inéquation \cos(x) \leqslant \dfrac{1}{2} dans [-\pi;\pi] .
- \dfrac{1}{2} \in [-1;1]
- \cos (\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2} \text{ avec } \dfrac{\pi}{3} \in ]0;\pi[
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation \cos(x) \leqslant \dfrac{1}{2} est :
S=\left[ -\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[ \dfrac{\pi}{3};\pi \right]