Partie A : étude de la fonction f
La fonction f est définie sur l'intervalle ]0;+\infty [ par :
f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln x
où \ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ]0;+\infty [, on note f' sa dérivée et f'' sa dérivée seconde.
Quelle est la limite de la fonction f en 0_+ ?
Quelle est la limite de la fonction f en +\infty ?
Quelle est l'expression de f'(x) pour tout x \in ]0;+\infty[ ?
Quel est le sens de variation de la fonction f sur ]0;+\infty[ ?
Sur ]0;+\infty[, que peut-on dire de la fonction f ?
Combien de solutions l'équation f (x) = 0 admet-elle exactement dans ]0;+\infty[ ?
On note \alpha la solution de l'équation f(x)=0 sur ]0;+\infty[.
À quel intervalle appartient \alpha ?
Quel est le signe de f (x) pour x \in ]0;+\infty[ ?
Que vaut \ln(\alpha) ?
Partie B : étude de la fonction g
La fonction g est définie sur ]0 ; 1] par :
g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2 \ln x
On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 ; 1] et on note g' sa fonction dérivée.
Pour x \in ]0;1], quelle est l'expression de g'(x) ?
Est-il vrai que pour x \in ]0;1], g'(x)=xf\left( \dfrac{1}{x} \right) ?
Pour x \in ]0;\dfrac{1}{\alpha}[, quel est le signe de f\left( \dfrac{1}{x} \right) ?
On admet le tableau de signes suivant :
Quel est le tableau de variations correct de g sur l'intervalle ]0 ; 1] ?
Partie C : un calcul d'aire.
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
- la courbe C_g de la fonction g ;
- la parabole P d'équation y=-\dfrac{7}{8}x^2+x sur l'intervalle ]0;1].
On souhaite calculer l'aire A du domaine hachuré compris entre les courbes C_g et P, et les droites d'équations x = \dfrac{1}{\alpha} et x = 1.
On rappelle que \ln(\alpha) = 2(2 - \alpha).
Quelle inégalité est vraie et permet de justifier la position relative des courbes C_g et P sur l'intervalle ]0;1] ?
Quelle est la valeur de l'intégrale \int_{\dfrac{1}{\alpha}}^{1} x^2 \ln x \ \mathrm dx ?
Quelle est l'expression de l'aire A en fonction de \alpha ?