Partie A
On considère une fonction f définie sur [0;+\infty[, représentée par la courbe C ci-dessous.
La droite T est tangente à la courbe C au point A d'abscisse \dfrac{5}{2}.
Par lecture graphique, quel tableau de variations de la fonction f sur [0;5] obtient-on ?
Que semble présenter la courbe C au point A ?
Laquelle de ces courbes représente f', dérivée de la fonction f ?
Laquelle de ces courbes représente f'', dérivée seconde de la fonction f ?
La courbe C_3 peut-elle être la représentation graphique sur [0;+\infty[ d'une primitive de la fonction f ?
Partie B
Dans cette partie, on considère que la fonction f, définie et deux fois dérivable sur [0;+\infty[, est définie par f (x) = (4x - 2) e^{-x+1}.
On notera respectivement f' et f'' la dérivée et la dérivée seconde de la fonction f.
Quelle est l'expression de f'(x) ?
On admet que \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0.
Quel est le tableau de variations de la fonction f sur [0;+\infty[ ?
Que peut-on dire de la fonction f ?
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
On considère une fonction F définie sur [0;+\infty[ par F (x) = (ax + b)e^{-x+1}, où a et b sont deux nombres réels.
Quelles sont les valeurs des réels a et b telles que la fonction F soit une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[ ?
On admet que F (x) = (-4x -2)e^{-x+1} est une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[.
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx ?
Quelle est une valeur approchée à 10^{-2} près de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx ?
Partie C
Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle \left[ \dfrac{3}{2};8 \right].
L'unité de longueur est le mètre.
Quelle est une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D ?
La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste.
L'artiste retenu prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m2, quel est le nombre de bombes que l'artiste devra utiliser pour réaliser cette œuvre ?