Etudier la dérivabilité en un réel en utilisant le taux d'accroissement Exercice

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+x+1.

f est-elle dérivable en 1 ?

f est bien dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_1\left(h\right)=3+h a une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(1\right) = 3.

f est bien dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_1\left(h\right)=2h+1 a une limite finie quand h \to 1 et donc f'\left(1\right) = 4.

f n'est pas dérivable en 1 car le taux d'accroissement de f en 1 n'admet pas de limite finie en 0.

f n'est pas dérivable en 1 car le taux d'accroissement de f en 1 n'admet pas de limite finie en 1.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3-1.

f est-elle dérivable en -2 ?

f est bien dérivable en −2 car le taux d'accroissement \tau_{-2}\left(h\right)=3h^2 admet une limite finie quand h \to -2 et donc f'\left(-2\right) = 12.

f est bien dérivable en −2 car le taux d'accroissement \tau_{-2}\left(h\right)=6h^2-12 admet une limite finie quand h \to -2 et donc f'\left(-2\right) = 12.

f est bien dérivable en −2 car le taux d'accroissement \tau_{-2}\left(h\right)=12-6h+h^2 admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(-2\right) = 12.

f est bien dérivable en −2 car le taux d'accroissement \tau_{-2}\left(h\right)=12-6h^2 admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(-2\right) = 12.

On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{x}.

f est-elle dérivable en 0 ?

f n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement \tau_{0}\left(h\right)=\dfrac1{2\sqrt h} n'admet pas de limite finie quand h \to 0.

f n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement \tau_{0}\left(h\right)=\dfrac1{\sqrt h} n'admet pas de limite finie quand h \to 0.

f est bien dérivable en 0 car le taux d'accroissement \tau_{0}\left(h\right)=\dfrac1{\sqrt h} admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(0\right) = +\infty.

f est bien dérivable en 0 car le taux d'accroissement \tau_{0}\left(h\right)=\dfrac1{2\sqrt h} admet une limite quand h \to 0 et donc f'\left(0\right) = +\infty.

On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=|x^2-1|.

f est-elle dérivable en 1 ?

f n'est pas dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_{1}\left(h\right)=\dfrac{|2h+1|}{h} n'admet pas de limite finie quand h \to 0.

f n'est pas dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_{1}\left(h\right)=\dfrac{|h|}{h}|h+2| n'admet pas de limite finie quand h \to 0.

f est bien dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_{1}\left(h\right)=\dfrac{|h|}{h}|h+2| admet une limite finie quand h \to 1 et donc f'\left(1\right) = 3.

f est bien dérivable en 1 car le taux d'accroissement \tau_{1}\left(h\right)=\dfrac{|2h+1|}{h} admet une limite finie quand h \to 1 et donc f'\left(1\right) = 3.

On considère la fonction f définie sur \left[-\dfrac32;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{3+2x}.

f est-elle dérivable en 5 ?

f est bien dérivable en 5 car le taux d'accroissement \tau_{5}=\dfrac2{\sqrt{13+2h}+\sqrt{23}} admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(5\right) = \dfrac1{\sqrt 23}.

f n'est pas dérivable en 5 car le taux d'accroissement \tau_{5}=\dfrac2{\sqrt{13+2h}-\sqrt{23}} n'admet pas de limite finie quand h \to 5.

f n'est pas dérivable en 5 car le taux d'accroissement \tau_{5}=\dfrac2{\sqrt{13+2h}-\sqrt{13}} n'admet pas de limite finie quand h \to 0.

f est bien dérivable en 5 car le taux d'accroissement \tau_{5}=\dfrac2{\sqrt{13+2h}+\sqrt{13}} admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(5\right) = \dfrac1{\sqrt 13}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x-5.

f est-elle dérivable en -7 ?

f n'est pas dérivable en −7 car le taux d'accroissement \tau_{-7}\left(h\right)=\dfrac {3h} h n'admet pas de limite finie. quand h\to0.

f n'est pas dérivable en −7 car le taux d'accroissement \tau_{-7}\left(h\right)=\dfrac 3 h n'admet pas de limite finie. quand h\to0.

f est bien dérivable en −7 car le taux d'accroissement \tau_{-7}\left(h\right)=3 admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(-7\right) = 3.

f est bien dérivable en −7 car le taux d'accroissement \tau_{-7}\left(h\right)=10+h admet une limite finie quand h \to -7 et donc f'\left(-7\right) = 3.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(1-3x\right)^2.

f est-elle dérivable en 2 ?

f est bien dérivable en 2 car le taux d'accroissement \tau_{2}\left(h\right)=2-6h admet une limite finie quand h \to 2 et donc f'\left(2\right) = -10.

f est bien dérivable en 2 car le taux d'accroissement \tau_{2}\left(h\right)=-6+18h admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(2\right) = -6.

f est bien dérivable en 2 car le taux d'accroissement \tau_{2}\left(h\right)=30+9h admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(2\right) = 30.

f est bien dérivable en 2 car le taux d'accroissement \tau_{2}\left(h\right)=2-6h admet une limite finie quand h \to 0 et donc f'\left(2\right) = 2.