Le nombre dérivé
Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.
Le taux d'accroissement
Taux d'accroissement
Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul tel que \left(a+h\right) appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \left(a+h\right) le quotient :
\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
En posant x = a + h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :
\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}
Nombre dérivé
Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).
Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :
\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.
Son taux d'accroissement en 1 est égal à :
\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1
Or :
\lim\limits_{x \to 1}\left( x+1 \right) = 2, et 2\in\mathbb{R}.
On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.
Si f est définie à gauche et à droite de a, cette limite doit être identique des deux côtés de a. Dans le cas contraire (pour la fonction valeur absolue en 0 par exemple), la fonction n'est pas dérivable en a.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
La réciproque est fausse.
La tangente à une courbe d'une fonction en un point
Tangente
Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(a ; f\left(a\right)\right), de coefficient directeur f'\left(a\right), dont une équation est :
y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)
Sachant que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+1 est dérivable en 1 et que f'\left(1\right) = 2, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :
y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)
Soit :
y = 2\left(x-1\right) + 2
y = 2x - 2 + 2
y = 2x
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y=2x.
La fonction dérivée
La dérivée sur un intervalle
Fonction dérivée
Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f' qui, à tout réel x de I, associe f'\left(x\right).
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
Attention, la réciproque est fausse.
Dérivée seconde
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.
Les dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.
| f\left(x\right) | f'\left(x\right) | D_{f} | D_{f'} |
|---|---|---|---|
| \lambda (se dit "lambda") | 0 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n \geq 1\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right) | -\dfrac{n}{x^{n+1}} | \mathbb{R}^{*} | \mathbb{R}^{*} |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \mathbb{R}^{+} | \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}} |
Les opérations sur les dérivées
Soit un réel \lambda, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
| f | f' |
|---|---|
| \lambda u | \lambda u' |
| u + v | u' + v' |
| uv | u'v + uv' |
| \dfrac{1}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) | -\dfrac{v'}{v^2} |
| \dfrac{u}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) | \dfrac{u'v–uv'}{v^2} |
Les dérivées de fonctions composées
Fonction composée
Soient une fonction f dérivable sur I, a et b deux réels tels que pour tout x de I, ax+b \in I.
La fonction x \longmapsto f\left(ax+b\right) est alors dérivable sur I et a pour dérivée la fonction :
x\longmapsto af'\left(ax+b\right)
Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(2x+5\right)^2=g\left(2x+5\right) avec g\left(x\right)=x^2.
La fonction dérivée de f est :
f'\left(x\right)=2\times g'\left(2x+5\right)=2\times 2\left(2x+5\right)=8x+20
Soit u une fonction dérivable sur I.
| f | f' |
|---|---|
| u^{n} \left(n \geq 1\right) | nu'u^{n-1} |
| \sqrt{u} (si u\left(x\right) {\textcolor{Red}\gt} 0 ) | \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} |
Les applications de la dérivation
Le sens de variation d'une fonction
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}. On admet que f est dérivable sur \mathbb{R}.
f=\dfrac{1}{v} avec, pour tout réel x, v\left(x\right)=x^2-x+3. v est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x, v'\left(x\right)=2x-1.
Ainsi :
f'=\dfrac{-v'}{v^2}
Soit, pour tout réel x :
f'\left(x\right)=\dfrac{-2x+1}{\left(x^2-x+3\right)^2}
Or :
- Pour tout réel x, \left(x^2-x+3\right)^2\gt0, car le discriminant de x^2-x+3 est strictement négatif
- -2x+1\gt0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{1}{2}
On obtient le signe de f'\left(x\right) :
On en conclut que :
- f est croissante sur \left] -\infty; \dfrac{1}{2}\right].
- f est décroissante sur \left[ \dfrac{1}{2};+\infty\right[.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extrema locaux d'une fonction
Extremum local
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :
- Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right)=0 et f' change de signe en a.
- Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.
Si f' s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors cet extremum est un minimum.
Si f' s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors cet extremum est un maximum.
On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x+3}. On sait que f' s'annule en changeant de signe en \dfrac{1}{2}, avec f'\left(x\right)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{1}{2} et f'\left(x\right)\leqslant0\Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{2}.
Ainsi, f admet un maximum local en \dfrac{1}{2}.
f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.
Tangente horizontale
Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.