Démontrer une égalité par récurrence Exercice

Initialisation : 3 \times 2^0 +6=6, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 2^k +6.

Alors u_{k+1}=2u_k-6=2\left(3\times2^k+6\right)-6=3\times 2^{k+1}+6, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0 +6=9, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 2^k +6.

Alors u_{k+1}=2u_k-6=2\left(3\times2^k+6\right)-6=3\times 2^{k+1}+6, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0 +6=6, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_{k+1}=2\times u_k -6.

Alors u_{k+1}=2u_k-6=2\left(3\times2^k+6\right)-6=3\times 2^{k+1}+6, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0 +6=9, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_{k+1}=2\times u_k -6.

Alors u_{k+1}=3\times 2^{k+1}+6=2\left(3\times2^k+6\right)-6=2u_k-6, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5^0 +2=3, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=5^k +2.

Alors u_{k+1}=5u_k-8=5\left(5^k+2\right)-8=5^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5^0 +2=2, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=5^k +2.

Alors u_{k+1}=5u_k-8=5\left(5^k+2\right)-8=5^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5^0 +2=3, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_{k+1}=5u_k -8.

Alors u_{k+1}=5^{k+1}+2=5\left(5^k+2\right)-8=5u_k-8, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5^0 +2=2, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_{k+1}=5u_k -8.

Alors u_{k+1}=5^{k+1}+2=5\left(5^k+2\right)-8=5u_k-8, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

\forall n \in\mathbb{N},u_n=2^n-1

\forall n \in\mathbb{N},u_n=\left(-2\right)^n-\dfrac13

\forall n \in\mathbb{N},u_n=\dfrac{5}{3}\left(-2\right)^n+\dfrac13

\forall n \in\mathbb{N},u_n=2^n+\dfrac13

\forall n \in\mathbb{N},u_n=3^n-0{,}5

\forall n \in\mathbb{N},u_n=3^n-\dfrac12

\forall n \in\mathbb{N},u_n=3^n\times \dfrac52-\dfrac12

\forall n \in\mathbb{N},u_n=3^n\times \dfrac52+\dfrac12

\forall n \in\mathbb{N},u_n= 5\times 2^n-4

\forall n \in\mathbb{N},u_n=5\times 2^n +4

\forall n \in\mathbb{N},u_n= 5\times 2^n +1

\forall n \in\mathbb{N},u_n=5\times 2^n -1

\forall n \in\mathbb{N},u_n= 11\times 3^n-10

\forall n \in\mathbb{N},u_n=11\times 3^n +10

\forall n \in\mathbb{N},u_n= 11\times 3^n +1

\forall n \in\mathbb{N},u_n=11\times 3^n -1