Démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le produit scalaire Exercice

On considère les points A\left(-6;45\right), B\left(15;12\right) et C\left(3;48 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en C ?

\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -9 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 12 \cr\cr -36 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-9\times12+\left(-3\right)\times\left(-36\right)=-98+98=0

Les vecteurs \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en C.

\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} 9 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} -12 \cr\cr 36 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=9\times\left(-12\right)+3\times36=-98+98=0

Les vecteurs \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en C.

\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -9 \cr\cr -3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 12 \cr\cr -36 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 21 \cr\cr -33 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}=12\times21+\left(-36\right)\times\left(-33\right)=252+1\ 188=1\ 440 et \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=-9\times21+\left(-3\right)\times\left(-33\right)=-189+99=-90 et \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Alors le triangle ABC est rectangle en C.

\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -9 \cr\cr -3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 12 \cr\cr -36 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 21 \cr\cr -33 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}=12\times\left(-33\right)-\left(-36\right)\times21=-396-\left(-756\right)=360 et \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=-9\times\left(-33\right)-\left(-3\right)\times21=297+63=360 et \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Alors le triangle ABC est rectangle en C.

On considère les points A\left(4;1\right), B\left(7;2\right) et C\left(2;7\right).

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Oui, il est rectangle en A car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.

Oui, il est rectangle en B car \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0.

Oui, il est rectangle en C car \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.

Non, il n'est pas rectangle.

On considère les points A\left(3;2\right), B\left(6;11\right) et C\left(-3;4\right).

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Oui, il est rectangle en B car \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0.

Oui, il est rectangle en A car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.

Non, il n'est pas rectangle.

Oui, il est rectangle en C car \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.

On considère les points A\left(-2;-1\right), B\left(-1;-3\right) et C\left(3;1\right).

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Oui, il est rectangle en B car \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0.

Oui, il est rectangle en A car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.

Non, il n'est pas rectangle.

Oui, il est rectangle en C car \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.

On considère les points A\left(4;8\right), B\left(1;2\right) et C\left(7;-1\right).

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Non, il n'est pas rectangle.

Oui, il est rectangle en A car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.

Oui, il est rectangle en B car \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0.

Oui, il est rectangle en C car \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.

On considère les points A\left(8;-2\right), B\left(19;11\right) et C\left(5;5\right).

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Oui, il est rectangle en C car \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.

Oui, il est rectangle en A car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.

Non, il n'est pas rectangle.

Oui, il est rectangle en B car \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0.