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Etude d'un cas concret à l'aide d'une suite Exercice type bac

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
  • chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
  • chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel n, on note :

  • u_n la population en zone rurale, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants ;
  • v_n la population en ville, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants.

On a donc u_0 = 90 et v_0 = 30.

Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant u_n et v_n.

On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (u_n) et (v_n).

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

A B C

1

 n Population en zone rurale Population en ville
2 0 90 30
3 1 82,5 37,5
4 2 76,125 43,875
5 3 70,706 49,294
6 4 66,100 53,900
7 5 62,185 57,815
8 6 58,857 61,143
9 7 56,029 63,971
10 8 53,625 66,375
11 9 51,581 68,419
12 10 49,844 70,156
13 11 48,367 71,633
14 12 47,112 72,888
15 13 46,045 73,955
16 14 45,138 74,862
17 15 44,368 75,632
18 16 43,713 76,287
19 17 43,156 76,844
20 18 42,682 77,318
21 19 42,280 77,720
22 20 41,938 78,062
... ... ...
59 57 40,005 79,995
60 58 40,004 79,996
61 59 40,003 79,997
62 60 40,003 79,997
63 61 40,002 79,998

Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0, 85u_n + 6.

On considère u_n.

a

Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?

b

On admet que u_n est positif pour tout entier naturel n.

Que peut-on en déduire quant à la suite (u_n) ?

On considère la suite (w_n), définie par : w_n = u_n - 40, pour tout n \geqslant 0.

a

Quelle est la nature de la suite (w_n) ?

b

En déduire l'expression de w_n puis de u_n en fonction de n.

c

Déterminer l'expression de v_n en fonction de n.

Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3) de la partie A.

On considère l'algorithme suivant :

-
a

Que fait cet algorithme ?

b

Quelle valeur affiche-t-il ?

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