Sommaire
1Rappeler la troisième loi de Kepler 2Exprimer le rayon de l'orbite 3Convertir éventuellement la période de révolution 4Effectuer l'application numérique 5Convertir, éventuellement, le rayon de l'orbite en kilomètresLa troisième loi de Kepler permet de déterminer le rayon de l'orbite d'un corps en révolution autour d'un astre.
Déterminer le rayon de l'orbite de la Lune sachant que sa période de révolution autour de la Terre est de 27,3 jours.
Données :
- constante de la gravitation universelle : G= 6{,}67. 10^{-11} \text {N.m}^{2}.\text{kg}^{-2} ;
- masse de la Terre : M_\text{T} = 5{,}98. 10^{24} \text{ kg}.
Rappeler la troisième loi de Kepler
On rappelle la troisième loi de Kepler que vérifient les satellites en orbite autour d'un astre.
D'après la troisième loi de Kepler, le rapport \dfrac{T^2}{r^3} est identique pour tous les corps en orbite autour d'un même astre.
On peut montrer que sa valeur est égale à \dfrac{4 \pi^2}{G\times M} où M est la masse de l'astre attracteur.
Dans le cas d'un satellite en orbite autour de la Terre, on a donc :
\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G\times M_T}
Exprimer le rayon de l'orbite
À partir de la troisième loi de Kepler, on isole le rayon de l'orbite du corps en révolution autour de l'astre.
À partir de la troisième loi de Kepler :
\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G\times M_T}
On isole le rayon r.
On commence par écrire la relation dans laquelle les deux termes sont inversés (pour que r soit au numérateur) :
\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{G\times M_T}{4 \pi^2}
D'où :
r^3 = T^2 \times\dfrac{G\times M_T}{4 \pi^2}
Soit :
r =\sqrt[3]{\frac{T^2\times G \times M_T }{4 \pi^2}}
Convertir éventuellement la période de révolution
Le cas échéant, on convertit la période de révolution donnée pour qu'elle soit exprimée en secondes (\text{s}).
Ici, la période de révolution de la Lune est donnée en jours, on la convertit donc en secondes (\text{s}) :
T=27{,}3 \text{ jours}
T=27{,}3 \times 24 \times 3 \ 600 \text{ s}
T=2{,}36.10^6 \text{ s}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique, la période de révolution devant être exprimée en secondes (\text{s}) et le rayon étant obtenu en mètres (\text{m}).
On a donc :
r =\sqrt[3]{\frac{(2{,}36.10^6)^2\times 6{,}67. 10^{-11} \times 5{,}98. 10^{24} }{4 \pi^2}}
r=3{,}83.10^8 \text{ m}
Convertir, éventuellement, le rayon de l'orbite en kilomètres
Le rayon de l'orbite ayant été obtenu en mètres (\text{m}), on le convertit, éventuellement, en kilomètres (\text{km}).
On a :
r=3{,}83.10^8 \text{ m}
Soit :
r=3{,}83.10^5 \text{ km}
Le rayon de l'orbite de la Lune autour de la Terre est donc d'environ 3{,}83.10^5 \text{ km}.