Sommaire
1Rappeler la troisième loi de Kepler 2Rappeler l'expression de la constante k 3En déduire l'expression de la période de révolution 4Effectuer l'application numérique 5Convertir la périodeLa troisième loi de Kepler permet de déterminer la période de révolution d'un corps en orbite d'un astre.
La planète Mars est en orbite quasi-circulaire autour du Soleil. À l'aide de la troisième loi de Kepler, déterminer la période de révolution de Mars.
Données :
- Constante universelle de gravitation : G=6{,}67\times10^{-11} \text{ m}^3\text{.kg}^{-1}\text{.s}^{-2}.
- Masse du Soleil : M_S=2{,}0\times10^{30} \text{ kg}.
- Rayon de l'orbite de Mars : r=2{,}3\times10^8 \text{ km}.
Rappeler la troisième loi de Kepler
On rappelle la troisième loi de Kepler qui concerne la période de révolution T du système et le demi grand axe a de son orbite, ou rayon r si l'orbite est circulaire.
D'après la troisième loi de Kepler, le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi grand axe a de son orbite elliptique :
\dfrac{T^2}{a^3} = k
Avec :
- T : période de révolution (en s) ;
- a : demi grand axe de l'ellipse ou rayon si l'orbite est quasiment circulaire (en m) ;
- k : constante identique pour toutes les planètes (en \text{ s}^{2}.\text{m}^{-3}).
Dans le cas d'un mouvement quasi-circulaire comme celui de Mars, on peut utiliser le rayon r au lieu du demi grand axe a, ce qui donne :
\dfrac{T^2}{r^3} = k
Rappeler l'expression de la constante k
On rappelle l'expression de la constante k.
L'étude du mouvement des corps en orbite d'un astre attracteur montre que la constante k ne dépend que de la masse de l'astre attracteur. Ainsi, dans le cas du système solaire, on peut déterminer l'expression de k :
k = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_{S}}
En déduire l'expression de la période de révolution
On en déduit l'expression de la période de révolution T.
La troisième loi de Kepler peut donc s'écrire :
\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_{S}}
L'expression du carré de la période de révolution est donc :
T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_{S}}\times r^3
D'où l'expression de la période de révolution :
T = \sqrt{\dfrac{4 \pi^2}{G \times M_{S}}\times r^3}
Que l'on peut écrire aussi :
T = 2 \pi \times \sqrt{\dfrac{ r^3}{G \times M_{S}}}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique, en convertissant le cas échéant le rayon en mètres (m) et la masse de l'astre en kilogrammes (kg). La période de révolution est alors obtenue en secondes (s).
Ici, il faut convertir le rayon de l'orbite de Mars en mètres (m) :
r=2{,}3\times10^8 \text{ km}
r=2{,}3\times10^8 \times10^3 \text{ m}
r=2{,}3\times10^{11} \text{ m}
On a donc :
T = 2 \pi \times \sqrt{\dfrac{ (2{,}3\times10^{11})^3}{6{,}67\times10^{-11} \times 2{,}0\times10^{30}}}
T = 6{,}0.10^7 \text{ s}
Convertir la période
Le cas échéant, on convertit la période obtenue dans une unité plus adaptée que la seconde.
Ici, l'unité de temps la plus adaptée est le jour. On convertit donc la période obtenue en jours :
T_{(\text{j})} = \dfrac{T_{(\text{s})}}{3 \ 600 \times 24}
T_{(\text{j)}} = \dfrac{6{,}0.10^7}{3 \ 600 \times 24}
T = 694 \text{ j}
La période de révolution de Mars est donc de 694 jours.