Etablir la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire Problème

On se propose de démontrer la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire. Pour ce faire, on considère un corps de masse m en orbite circulaire autour d'un astre A de masse M. On étudie le mouvement dans le repère mobile :

Données : constante universelle de gravitation : G= 6{,}67.10^{-11} \text{ m}^3.\text{kg}^{-1}

Quelle est l'expression de la force \overrightarrow{F} exercée par le corps S sur le corps M ?

\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}

\overrightarrow{F_{}}= G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}

\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{t_{}}

\overrightarrow{F_{}}= G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{t_{}}

D'après la seconde loi de Newton, quelle est l'expression de la vitesse du corps P ?

v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}

v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R^2}}

v = \sqrt{\dfrac{2\times G\times M}{R}}

v = \sqrt{\dfrac{2\pi \times G\times M}{R}}

Quelle est l'expression de la vitesse du corps P en fonction de R et T, la période de révolution de P autour de S ?

v = \dfrac{2\pi R}{T}

v = \dfrac{2\pi R}{T^2}

v = \dfrac{2\pi R}{T^3}

v = \dfrac{2\pi R^2}{T}

D'après la troisième loi de Kepler : \dfrac{T^2}{R^3} = \text{constante}.

Quelle est cette constante ?

{\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}

{\dfrac{2\pi}{G\times M}}

{\dfrac{4\pi^2}{G^2\times M^2}}

{\dfrac{4\pi^2}{\sqrt{G\times M}}}