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  4. Méthode : Résoudre l'équation différentielle donnant le nombre de radionucléides en fonction du temps

Résoudre l'équation différentielle donnant le nombre de radionucléides en fonction du temps Méthode

Sommaire

1Rappeler la formule générale solution de l'équation différentielle 2Identifier la première constante 3Utiliser la condition initiale pour identifier la deuxième constante 4En déduire l'expression de la fonction solution de l'équation différentielle

Le nombre de radionucléides en fonction du temps vérifie une équation différentielle. Résoudre cette équation différentielle afin d'obtenir l'expression du nombre de radionucléides en fonction du temps.

Soit un échantillon contenant initialement N_0 radionucléides. La constante radioactive de l'élément considéré étant \lambda, l'équation différentielle vérifiée par le nombre de noyaux en fonction du temps est la suivante :
\dfrac{dN}{dt} = - \lambda \times N

Résoudre cette équation différentielle afin d'obtenir l'expression de la fonction N_{(t)}.

Avec la condition N = N_0 pour t = 0, la solution de cette équation différentielle est :
N_{(t)} = N_0\times e^{-\lambda_{(\text{s}^{-1})}\times t_{(\text{s})}}

Etape 1

Rappeler la formule générale solution de l'équation différentielle

On rappelle la formule générale solution de cette équation différentielle.

L'équation différentielle \dfrac{dN}{dt} = - \lambda \times N est du type :

y'_{(t)} = a.y_{(t)}

La solution d'une équation différentielle de ce type est :

y'_{(t)} = k.e^{a \times t}

où k et a sont des constantes.

Etape 2

Identifier la première constante

On identifie la première constante a en comparant l'équation différentielle générale et celle du nombre de radionucléides.

On identifie la première constante a en comparant l'équation différentielle générale et celle du nombre de radionucléides.

L'équation différentielle générale est :

y'_{(t)} = a.y_{(t)}

Et celle du nombre de radionucléides est :

\dfrac{dN}{dt} = - \lambda \times N

On en déduit l'expression de la constante a :

a = - \lambda

L'expression du nombre de radionucléides est donc :

N_{(t)} =k\times e^{-\lambda \times t}

Etape 3

Utiliser la condition initiale pour identifier la deuxième constante

On utilise la condition initiale pour identifier la deuxième constante k.

Ici, la condition initiale est que pour t=0, N=N_0.

Or, pour t=0 l'expression du nombre de radionucléides donne :

N_{(t=0)} =k\times e^{-\lambda \times 0}= k \times 1 = k

On en déduit l'expression de la constante k :

k = N_0

Etape 4

En déduire l'expression de la fonction solution de l'équation différentielle

On en déduit l'expression de la fonction solution de l'équation différentielle en remplaçant les constantes générales par les données de l'énoncé.

L'expression du nombre de radionucléides étant de la forme suivante :

N_{(t)} =k\times e^{a \times t}

Et les expressions des constantes étant :

  • a = - \lambda
  • k = N_0

L'expression de la fonction solution de l'équation différentielle est :

N_{(t)} =N_0\times e^{- \lambda \times t}