On considère l'algorithme suivant :
x, a, b, c : entier
a prend la valeur x-2
b prend la valeur x-1
c prend la valeur a\times b+3
Afficher la valeur de c
Quelle valeur l'algorithme affiche-t-il lorsque l'on entre 3 comme valeur de x ?
Pour déterminer l'image de 3, on remplace x par 3 et on calcule la valeur de la variable c.
a prend la valeur de 3-2=1
b prend la valeur de 3-1=2
c prend la valeur de 1\times2+3=5
Lorsque l'on entre 3 comme valeur de x, l'algorithme affiche 5.
On appelle f la fonction associée à l'algorithme.
Quelle est l'expression algébrique de f en fonction de x ?
On procède au même calcul que la question 1 en conservant la variable x.
a prend la valeur x-2
b prend la valeur x-1
c prend la valeur a\times b+3=\left(x-2\right)\left(x-1\right)+3=x^{2}-x-2x+2+3=x^{2}-3x+5
L'algorithme affiche la valeur de c pour un réel x saisi.
Pour tout réel x, on a f\left(x\right)=x^{2}-3x+5.
Pour quelles valeurs de x l'algorithme retourne-t-il 3 comme résultat ?
Pour déterminer les valeurs de x telle que l'algorithme retourne 3 comme résultat, on recherche les antécédents de 3par la fonction f.
Ce qui revient à résoudre l'équation :
f\left(x\right)=3
Or on sait, d'après l'algorithme, que pour tout réel x :
f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)+3
On obtient donc :
f\left(x\right)=3
\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)+3=3
\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0
Or un produit est nul si et seuleme,t si l'un de ses facteurs au moins est nul, on obtient donc :
x-2=0 ou x-1=0
x=2 ou x=1
L'algorithme retourne donc 3 comme résultat pour les valeurs 1 et 2.