Etudier la position relative de deux paraboles Problème

Dans le repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right), on considère les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par :

On appelle C_f la courbe représentative de f et C_g celle de g.

On cherche la position relative de la parabole C_f par rapport à C_g sur \mathbb{R}.

On pose : h(x) = f(x) - g(x) pour tout x réel.

Calculer les racines de h.

x_1 = −5

x_2 = 1

x_1 = 5

x_2 = −1

x_1 = −5/2

x_2 = 1/2

x_1 = −4

x_2 = 3

En déduire le signe de h sur \mathbb{R} .

h est positive sur ] -\infty ; −5 ]\cup [1; +\infty[ et négative sur ]−5;1[

h est négative sur ] -\infty ; −5 ]\cup [1; +\infty[ et positive sur ]−5;1[

h est positive sur ] -\infty ; 0 ]\cup [3; +\infty[ et négative sur ]0;3[

h est positive sur ] -\infty ; −2]\cup [4; +\infty[ et négative sur ]−2;4[

En déduire les positions relatives des paraboles C_f et C_g.

C_f est au-dessus de C_g sur ] -\infty ; −5 ]\cup [1; +\infty[ et en dessous sur [−5;1].

C_f est en dessous de C_g sur ] -\infty ; −5 ]\cup [1; +\infty[ et au-dessus sur [−5;1].

C_f est au-dessus de C_g sur ] -\infty ; 0 ]\cup [3; +\infty[ et en dessous sur [0;3].

C_f est au-dessus de C_g sur ] -\infty ; −2 ]\cup [2; +\infty[ et en dessous sur [−2;2].