Déterminer le point appartenant aux cercles suivants à l'aide de son équation cartésienne.
\left(x-1\right)^2+\left(y-0\right)^2=2^2
Soient A(a;b) un point du plan et r un nombre réel strictement positif.
Le cercle \mathcal{C} de centre A et de rayon r a pour équation cartésienne :
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Un point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si AM=r.
Ici, d'après l'équation de cercle, on a :
- A(a=1;b=0)
- r^2=2^2
On vérifie la propriété du cours pour les quatre points proposés.
Pour le point M_1(3;3), on a :
AM_1=\sqrt{\left(x_{M_1}-x_A\right)^2+\left(y_{M_1}-y_A\right)^2}
AM_1=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(3-0\right)^2}
AM_1=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(3\right)^2}
AM_1=\sqrt{4+9}
AM_1=\sqrt{13}
Donc, on a :
AM_1\neq r
Pour le point M_2(1;3), on a :
AM_2=\sqrt{\left(x_{M_2}-x_A\right)^2+\left(y_{M_2}-y_A\right)^2}
AM_2=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(3-0\right)^2}
AM_2=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(3\right)^2}
AM_2=\sqrt{0+9}
AM_2=3
Donc, on a :
AM_2\neq R
Pour le point M_3(1;-1), on a :
AM_3=\sqrt{\left(x_{M_3}-x_A\right)^2+\left(y_{M_3}-y_A\right)^2}
AM_3=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(3-(-1)\right)^2}
AM_3=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(4\right)^2}
AM_3=\sqrt{16}
AM_3=4
Donc, on a :
AM_3\neq R
Pour le point M_4(-1;0), on a :
AM_4=\sqrt{\left(x_{M_4}-x_A\right)^2+\left(y_{M_4}-y_A\right)^2}
AM_4=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-0\right)^2}
AM_4=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(0\right)^2}
AM_4=\sqrt{4}
AM_4=2
Donc, on a :
AM_4= R
Ainsi, le point appartenant au cercle \mathcal{C} est : (-1 ; 0).
\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=4
Soit A(a;b) un point du plan.
Un cercle \mathcal{C} de centre A(a;b) et de rayon R a pour équation cartésienne :
(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2
Un point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si M vérifie l'équation cartésienne du cercle.
On vérifie cette propriété pour les quatre points proposés.
Pour le point M_1(1;1), on a :
\left(1-3\right)^2+\left(1-1\right)^2= (-2)^2 + (0)^2 = 4
Pour le point M_2(3;2), on a :
\left(3-3\right)^2+\left(2-1\right)^2= (0)^2 + (1)^2 = 1
Pour le point M_3(1;3), on a :
\left(1-3\right)^2+\left(3-1\right)^2= (-2)^2 + (2)^2 = 8
Pour le point M_4(1;-1), on a :
\left(1-3\right)^2+\left(-1-1\right)^2= (-2)^2 + (-2)^2 = 8
Ainsi, le point appartenant au cercle \mathcal{C} est : (1 ; 1).
\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5
Soit A(a;b) un point du plan.
Un cercle \mathcal{C} de centre A(a;b) et de rayon R a pour équation cartésienne :
(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2
Un point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si M vérifie l'équation cartésienne du cercle.
On vérifie cette propriété pour les quatre points proposés.
Pour le point M_1(1;1), on a :
\left(3-1\right)^2+\left(2-1\right)^2= (2)^2 + (1)^2 = 5
Pour le point M_2(3;2), on a :
\left(1-1\right)^2+\left(1-1\right)^2= (0)^2 + (0)^2 = 0
Pour le point M_3(1;3), on a :
\left(1-1\right)^2+\left(3-1\right)^2= (0)^2 + (2)^2 = 4
Pour le point M_4(1;-1), on a :
\left(1-1\right)^2+\left(-1-1\right)^2= (0)^2 + (-2)^2 = 4
Ainsi, le point appartenant au cercle \mathcal{C} est : (3 ; 2).
\left(x-4\right)^2+\left(y-6\right)^2=18
Soit A(a;b) un point du plan.
Un cercle \mathcal{C} de centre A(a;b) et de rayon R a pour équation cartésienne :
(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2
Un point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si M vérifie l'équation cartésienne du cercle.
On vérifie cette propriété pour les quatre points proposés.
Pour le point M_1(1;3), on a :
\left(1-4\right)^2+\left(3-6\right)^2= (-3)^2 + (-3)^2 = 18
Pour le point M_2(1;1), on a :
\left(1-4\right)^2+\left(1-6\right)^2= (-3)^2 + (-5)^2 = 36
Pour le point M_3(3;2), on a :
\left(3-4\right)^2+\left(2-6\right)^2= (-1)^2 + (-4)^2 = 17
Pour le point M_4(1;-1), on a :
\left(1-4\right)^2+\left(-1-6\right)^2= (-3)^2 + (-7)^2 = 56
Ainsi, le point appartenant au cercle \mathcal{C} est : (1 ; 3).
\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2= 52
Soit A(a;b) un point du plan.
Un cercle \mathcal{C} de centre A(a;b) et de rayon R a pour équation cartésienne :
(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2
Un point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si M vérifie l'équation cartésienne du cercle.
On vérifie cette propriété pour les quatre points proposés.
Pour le point M_1(2;-2), on a :
\left(2+2\right)^2+\left(-2-4\right)^2= (4)^2 + (-6)^2 = 16 + 36 = 52
Pour le point M_2(1;1), on a :
\left(1+2\right)^2+\left(1-4\right)^2= (3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18
Pour le point M_3(3;2), on a :
\left(3+2\right)^2+\left(2-4\right)^2= (5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29
Pour le point M_4(1;3), on a :
\left(1+2\right)^2+\left(3-4\right)^2= (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10
Ainsi, le point appartenant au cercle \mathcal{C} est : (2 ; -2).