La trigonométrie
On introduit le cercle trigonométrique et une nouvelle unité de mesure d'angle : le radian.
Le cercle trigonométrique
La trigonométrie est basée sur le cercle de centre O (l'origine) et de rayon 1 dans un repère orthonormé du plan. Ce cercle est appelé cercle trigonométrique. On s'intéresse au sens de parcours sur ce cercle et à la mesure d'un arc.
Cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Par la suite, on utilise les mêmes points A, B, A' et B' de coordonnées respectives (1;0), (0;1), (-1;0) et (0;-1) dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).
Le périmètre d'un cercle trigonométrique est 2\pi.
On considère le cercle trigonométrique et deux points M et M' sur ce cercle.
- La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est proportionnelle à la mesure de l'angle \widehat{MOM'}.
- Si l'angle \widehat{MOM'} mesure \alpha°, alors la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est x=\alpha\times \dfrac{\pi}{180}.
Une nouvelle unité de mesure d'angle : le radian
L'angle au centre formé par un réel placé sur le cercle trigonométrique et le point A permet d'introduire le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle.
Le radian
Le radian est une unité de mesure d'angle. Soit le cercle trigonométrique et soit un point M sur le cercle. Une mesure en radians de l'angle géométrique \widehat{AOM} est la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM} affectée du signe + si l'arc orienté \stackrel{\frown}{AM} est dans le sens direct et du signe - dans le cas contraire.
Il y a proportionnalité entre les mesures des angles en degrés et les mesures en radians pour les mesures comprises entre 0° et 360° (pour la mesure en degrés) et celles comprises entre 0 et 2\pi (pour la mesure en radians).
Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la mesure en degrés à la mesure en radians est \dfrac{\pi}{180}.
On cherche à compléter le tableau suivant :
| Angle en radians | \dfrac{5\pi}{6} | \dfrac{5\pi}{3} | \dfrac{3\pi}{4} | \dfrac{2\pi}{9} | ||
| Angle en degrés | 120 | 100 |
Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des mesures d'angles en degrés aux mesures d'angles en radians est \dfrac{\pi}{180}.
- Une mesure d'angle en radians correspondant à une mesure de 120° est donc :
120\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{120\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}
- La mesure en degrés correspondant à une mesure d'angle de \dfrac{5\pi}{6} radians est :
\dfrac{5\pi}{6}\div\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\times \dfrac{180}{\pi}=150
En poursuivant de la même façon, on obtient :
| Angle en radians | \dfrac{2\pi}{3} | \dfrac{5\pi}{6} | \dfrac{5\pi}{3} | \dfrac{3\pi}{4} | \dfrac{2\pi}{9} | \dfrac{5\pi}{9} |
| Angle en degrés | 120 | 150 | 300 | 135 | 40 | 100 |
| Angle en radians | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} | \pi | 2\pi |
| Angle en degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 360 |
| Point sur le cercle | A | A_1 | A_2 | A_3 | B | A' | A |
L'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Une autre façon d'effectuer un parcours sur le cercle trigonométrique est de considérer un axe des réels tangent au cercle trigonométrique. Cet axe des réels tangent permet de comprendre comment placer, par enroulement, l'image d'un réel sur le cercle trigonométrique
On considère le cercle trigonométrique. On trace la droite tangente au cercle passant par le point A.
On peut assimiler cette droite à la droite des réels, avec pour origine le point A et pour vecteur unité le vecteur \overrightarrow{OB}.
Soit x un nombre réel et M le point de l'axe précédent d'abscisse x.
En « enroulant » l'axe des réels sur le cercle trigonométrique (comme dans la figure ci-dessous), on associe au point M un unique point M_1 du cercle trigonométrique.
La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM_1} est |x|.
Image d'un réel sur le cercle trigonométrique
Avec les notations précédentes, on dit que le point M_1 est l'image du réel x sur le cercle trigonométrique.
On cherche à associer chaque point du cercle ci-contre à l'un des nombres réels suivants :
0;\dfrac{\pi}{2};\pi;2\pi;\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3};\dfrac{3\pi}{2};3\pi
\dfrac{-\pi}{2};-\pi;- 2\pi;\dfrac{-\pi}{3};\dfrac{-\pi}{6};\dfrac{-2\pi}{3};\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{-15\pi}{4};\dfrac{-16\pi}{3};\dfrac{13\pi}{2}
On obtient le tableau suivant :
| Réel | 0 | \dfrac{\pi}{ 2} | \pi | 2\pi | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{2\pi}{3} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{5\pi}{4} | \dfrac{5\pi}{3} | \dfrac{3\pi}{2} |
| Point | A | B | A' | A | E | C | F | D | D' | F' | B' |
| Réel | 3\pi | \dfrac{-\pi}{2} | -\pi | -2\pi | \dfrac{-\pi}{3} | \dfrac{-\pi}{6} | \dfrac{-2\pi}{3} | \dfrac{-\pi}{4} | \dfrac{-15\pi}{4} | \dfrac{-16\pi}{3} | \dfrac{13\pi}{2} |
| Point | A' | B' | A' | A | F' | H' | E' | G' | D | F | B |
Si le nombre x est associé au point M du cercle, alors les nombres réels x+2\pi, x-2\pi, x+4\pi, x-4\pi, ..., x+2k\pi où k est un entier relatif quelconque, sont associés au même point M par « enroulement ».
Donc à tout point M du cercle, on peut associer une infinité de réels.
Le nombre \dfrac{\pi}{2} est associé au point B.
C'est donc également le cas de tous les nombres du type \dfrac{\pi}{2}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}.
En particulier, les nombres \dfrac{\pi}{2}+2\pi, \dfrac{\pi}{2}+4\pi et \dfrac{\pi}{2}-2\pi sont également associés au point B.
Chaque point du cercle trigonométrique est l'image d'une infinité de nombres réels.
Le point A est l'image de tous les réels de la forme 2k\pi avec k\in\mathbb{Z}.
Il est bien l'image d'une infinité de nombres réels.
Le cosinus et le sinus d'un nombre réel
Si un point est placé sur le cercle trigonométrique, son cosinus est égal à son abscisse et son sinus est égal à son ordonnée. Des valeurs remarquables de cosinus et de sinus sont à connaître.
Définitions
Cosinus
Soit x un réel et M l'image de x sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de x, noté \cos(x), est l'abscisse du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
Sinus
Soit x un réel et M l'image de x sur le cercle trigonométrique. Le sinus de x, noté \sin(x), est l'ordonnée du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
Les coordonnées du point A sont (1;0). On en déduit que \cos(0)=1 et \sin(0)=0.
Les coordonnées du point B sont (0;1). On en déduit que \cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=1.
Les coordonnées du point A' sont (-1;0). On en déduit que \cos(\pi)=-1 et \sin(\pi)=0.
Les coordonnées du point B' sont (0;-1). On en déduit que \cos\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=-1.
Le point A est également l'image du nombre réel 2\pi. On en déduit que \cos(2\pi)=1 et \sin(2\pi)=0.
Le point A' est également l'image du nombre réel 3\pi. On en déduit que \cos(3\pi)=-1 et \sin(3\pi)=0.
Le point M associé au nombre réel x a pour coordonnées (\cos(x);\sin(x)) dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
Soit x un nombre réel quelconque. On a :
-1\leq \cos(x)\leq 1 et -1\leq \sin(x)\leq 1
Soit \alpha un angle aigu, assimilé à sa mesure en degrés, et x sa mesure en radians dans l'intervalle \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].
On a :
\cos(x)=OP=SM et \sin(x)=OS=PM
Or, dans le triangle rectangle OPM, on a :
\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}=OP et \sin\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{PM}{OM}=PM
Soit x un nombre réel quelconque. Alors, on a :
\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
Dans le repère \left( O;\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right) , le point M a pour coordonnées \left( \cos(x);\sin(x)\right).
On a donc OM^2=\cos^2(x)+\sin^2(x).
Or, OM=1, donc OM^2=1 et \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.
\cos^2(x) et \sin^2(x) sont des notations signifiant \left[\cos(x)\right]^2 et \left[\sin(x)\right]^2.
Soit x un réel quelconque et k un entier relatif quelconque. Alors on :
\cos(x+2k\pi)=\cos(x)
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)
Les valeurs remarquables de cosinus et de sinus
Certaines valeurs de cosinus et de sinus sont remarquables. Elles sont démontrées et sont à connaître.
\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}
\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
On réutilise les notations précédentes.
On cherche la valeur de \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right).
Si x=\dfrac{\pi}{4}, alors \alpha=45^\circ et le triangle OPM est rectangle et isocèle en P.
De plus on a, d'après le théorème de Pythagore, OP^2+PM^2=OM^2.
Comme OP=PM et OM=1 (puisque le cercle trigonométrique est de rayon 1), on obtient 2PM^2=1, soit PM^2=\dfrac{1}{2} et PM=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
On obtient bien \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
D'après ce qui précède, OP=PM, donc on obtient également :
\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On cherche les valeurs de \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right) et \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right).
On note I le milieu du segment [OM].
Le triangle OPM étant rectangle, le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle OPM.
Ainsi IO=IP=IM.
Dans le triangle OPM rectangle en P, on a :
\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}
\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OI}
Or, le triangle OIP est isocèle en I et \widehat{POI}=60^\circ.
C'est donc un triangle équilatéral.
En particulier, on obtient :
IO=OP
Par conséquent,
\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OP}
\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{1}{2}
Comme \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ),
on a bien \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
De plus \cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1. Donc on a :
\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}
Comme \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0, on obtient bien :
\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Les valeurs suivantes sont à connaître :
| Réel x | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} | \pi |
| \cos(x) | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 | -1 |
| \sin(x) | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 | 0 |
Le cosinus et le sinus des angles associés
Lorsque l'on connaît la valeur de \cos(x) ou de \sin(x), on peut calculer la valeur cos et sin des angles associés à x.
Soit x un réel quelconque. Alors on a :
\cos(\pi+x)=-\cos(x) et \sin(\pi+x)=-\sin(x)
\cos(\pi-x)=-\cos(x) et \sin(\pi-x)= \sin(x)
\cos(-x)=\cos(x) et \sin(-x)=-\sin(x)
\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)
\cos\left( \dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x\right)=\cos(x)
Soit M le point du cercle associé à un réel x, c'est-à-dire l'image du nombre réel x sur le cercle trigonométrique.
Alors, M', N, N', P et Q sont respectivement associés aux réels \pi+x, -x, \pi-x, x+\dfrac{\pi}{2} et x-\dfrac{\pi}{2}.
Le point N (image du réel -x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses.
Le point M' (image du réel \pi+x) est le symétrique du point M par rapport à l'origine du repère.
Le point N' (image du réel \pi-x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des ordonnées.
Le point Q (image du réel \dfrac{\pi}{2}-x) est le symétrique du point M par rapport à la droite d'équation y=x.
Le point P (image du réel \dfrac{\pi}{2}+x) est le symétrique du point N' par rapport à la droite d'équation y=-x.
\sin\left( \dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}
\cos\left( \dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=-\sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=-1
\cos\left( \dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0
\sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left( \dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left( 2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{-\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}
Les fonctions cosinus et sinus
Cosinus et sinus sont deux fonctions définies sur \mathbb{R}. On peut les étudier.
La fonction sinus
Fonction sinus
On appelle fonction sinus, notée \sin, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \sin(x) défini précédemment.
L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}.
Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \sin(-x)=-\sin(x).
La fonction sinus est donc impaire.
Graphiquement, la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \sin(x+2\pi)=\sin(x).
La fonction sinus est périodique de période 2\pi.
Le signe de \sin(x) sur [0;2\pi] est donné par le tableau suivant :
La courbe représentative de la fonction sinus est appelée une sinusoïde.
La fonction cosinus
Fonction cosinus
On appelle fonction cosinus, notée \cos, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \cos(x) défini précédemment.
L'ensemble de définition de la fonction cosinus est \mathbb{R}.
Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \cos(-x)=\cos(x).
La fonction cosinus est donc paire.
Graphiquement, la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \cos(x+2\pi)=\cos(x).
La fonction cosinus est périodique de période 2\pi.
La courbe de la fonction cosinus est en fait l'image de la courbe de la fonction sinus par la translation de vecteur -\dfrac{\pi}{2}\overrightarrow{\imath}.
Le signe de \cos(x) sur [0;2\pi] est donné par le tableau suivant :
La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée une sinusoïde.
