Montrer qu'une fonction est une densité de probabilité Exercice

On considère la fonction f définie sur \left[ 1;e \right] par :

\forall x\in\left[ 1;e \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[1; e\right]
f est continue sur \left[1;e\right]

\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[1;e\right]

\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[1; e\right] et continue sur \left[1; e\right]
\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[1; e\right] et continue sur \left[1; e\right]
f est continue sur \left[1;e\right]

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\sqrt{2} \right] par :

\forall x\in\left[ 0; \sqrt{2}\right], f\left(x\right)=x

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[0; \sqrt{2}\right]
f est continue sur \left[0;\sqrt{2}\right]

\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[0;\sqrt{2}\right]

\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[0; \sqrt{2}\right]
\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1

f n'est pas une densité de probabilité car f n'est pas continue sur \left[0;\sqrt{2}\right]

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right] par :

\forall x\in\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right], f\left(x\right)=x^2

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]
f est continue sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]

\int_{0}^{\sqrt[3]{3}}x^2 \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{1}{3}\times\left(\sqrt[3]{3}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\times0=1

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]

\int_{0}^{\sqrt[3]{3}}x^2 \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{1}{3}\times\left(\sqrt[3]{3}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\times0=1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right] car f n'est pas continue sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right] car \int_{0}^{\sqrt[3]{3}}x^2 \ \mathrm dx\neq1

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;1\right] par :

\forall x\in\left[ 0;1\right], f\left(x\right)=e^x

f est-elle une densité de probabilité ?

f n'est pas une densité de probabilité car \int_{0}^{1}e^{x} \ \mathrm dx\neq1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[0;1\right] car f n'est pas continue sur \left[0;1\right].

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[ 0;1\right]
f est continue sur \left[ 0;1\right]

f est une densité de probabilité car f est continue sur \left[0;1\right].

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\ln\left(2\right)\right] par :

\forall x\in\left[ 0;\ln\left(2\right)\right], f\left(x\right)=e^x

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[0;ln2\right]
f est positive sur \left[0;ln2\right]
\int_{0}^{ln2} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{ln2}=e^{ln2}-e^0=2-1=1

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[0;ln2\right]
f est positive sur \left[0;ln2\right]

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[0;ln2\right]
\int_{0}^{ln2} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{ln2}=e^{ln2}-e^0=2-1=1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[0;ln2\right] car \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\neq1

On considère la fonction f définie sur \left[ \dfrac{1}{2};1\right] par :

\forall x\in\left[ \dfrac{1}{2};1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[\dfrac{1}{2};1 \right]
f est positive sur \left[\dfrac{1}{2};1 \right]
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}=-1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1+2=1

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[\dfrac{1}{2};1 \right]
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}=-1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1+2=1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[\dfrac{1}{2};1\right] car \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\neq1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[\dfrac{1}{2};1\right] car f n'est pas continue sur \left[\dfrac{1}{2};1\right]

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right] par :

\forall x\in\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right)

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité car:

f est continue sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]
f est positive sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx=\left[-cosx \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+cos0=0+1=1

f est une densité de probabilité car:

f est positive sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx=\left[-cosx \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+cos0=0+1=1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right] car f n'est pas continue sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]

f n'est pas une densité de probabilité sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right] car \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx\neq1