Encadrer une intégrale Exercice

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car les nombres sont positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} sur \left[ 1;3 \right].

1\leqslant x\leqslant 3

\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\leqslant \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} car la fonction inverse est strictement croissante.

On a donc, \forall x \in \left[ 1;3 \right], \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 3 :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \int_{1}^{3} \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx = 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

On obtient finalement :

\int_{1}^{3} \dfrac{x}{2\sqrt{x+3}} \ \mathrm dx \leqslant 3 \left(\sqrt{6}-\sqrt{4}\right)

\int_{e}^{e^5} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 5\left(e^5-e\right)

\int_{e}^{e^5} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 200

\int_{e}^{e^5} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 5\ln\left(5\right)

\int_{e}^{e^5} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 5\ln\left(e^5\right)

\int_{ln2}^{ln5} e^{e^x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(3\right)

\int_{ln2}^{ln5} e^{e^x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)e^5

\int_{ln2}^{ln5} e^{e^x} \ \mathrm dx\leq 5\ln\left(2\right)

\int_{ln2}^{ln5} e^{e^x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(3\right)e^5

\int_{0}^{1} x^ne^x \ \mathrm dx\leq ne

\int_{0}^{1} x^ne^x \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{n+1}

\int_{0}^{1} x^ne^x \ \mathrm dx\leq \left(n+1\right)e

\int_{0}^{1} x^ne^x \ \mathrm dx\leq \dfrac{e}{n+1}

\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left(x\right)}{x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left(x\right)}{x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)

\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left(x\right)}{x} \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{8}

\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left(x\right)}{x} \ \mathrm dx\leq \ln\left(\pi\right)

\int_{1}^{e} 3x^2\ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3

\int_{1}^{e} 3x^2\ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(e-1\right)

\int_{e}^{e^5} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(e-1\right)\ln\left(3\right)

\int_{1}^{e} 3x^2\ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq e^3-1