Les fonctions affines
Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction qui, à tout réel x, associe le réel ax+b, où a et b sont des réels fixes. On note alors, pour tout réel x :
f\left(x\right)=ax+b
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2x+5 est une fonction affine.
Toute fonction affine est définie sur \mathbb{R}.
Sens de variation et signe d'une fonction affine
Si a \lt 0, f est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
La fonction affine f:x\mapsto -x+1 représentée ci-dessus est une fonction décroissante car a=-1\lt0. Elle est positive sur \left]-\infty, 1 \right] et négative sur \left[1,+\infty \right[ car -\dfrac{b}{a}=1.
Si a \gt 0, f est strictement croissante sur \mathbb{R}.
La fonction affine f\left(x\right)=x+1 représentée ci-dessus est une fonction croissante car a=1\gt0. Elle est négative sur \left]-\infty, -1 \right] et positive sur \left[-1,+\infty \right[ car -\dfrac{b}{a}=-1.
Si a est non nul, l'équation f\left(x\right)=0 admet pour seule solution x=-\dfrac{b}{a}.
-\dfrac{b}{a} est donc le seul antécédent de 0 par f.
Si a= 0, f est constante sur \mathbb{R}.
La fonction représentée ci-dessus définie pour tout réel x par f\left(x\right)=3 est une fonction constante.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction affine est la droite d'équation y=ax+b.
Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
La courbe représentative d'une fonction affine, d'équation y=ax+b, a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.
La droite d'équation y=78x-45 a pour coefficient directeur 78 et pour ordonnée à l'origine -45.
- Si a = 0, la fonction est constante et l'image de n'importe quel réel est b. Sa droite représentative est "horizontale" (parallèle à l'axe des abscisses).
- Si b = 0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.
Soit f une fonction affine définie par f\left(x\right)=ax+b pour laquelle on ne connaît ni la valeur de a ni la valeur de b. Si on connaît l'image par f de deux réels distincts x_1 et x_2, notées f\left(x_1\right)=y_1 et f\left(x_2\right)=y_2, on peut déterminer a puis b :
a=\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}
b=f\left(x_1\right)-ax_1 ou b=f\left(x_2\right)-ax_2
f est une fonction affine définie par f\left(3\right)=2 et f\left(8\right)=-7. On peut calculer le coefficient directeur :
a=\dfrac{f\left(8\right)-f\left(3\right)}{8-3}=\dfrac{-7-2}{8-3}=\dfrac{-9}{5}
On en déduit alors l'ordonnée à l'origine :
b = f\left(3\right)-3a=2-3\times\left( -\dfrac{9}{5} \right)=2+\dfrac{27}{5}=\dfrac{37}{5}
La fonction carré
Fonction carré
La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^{2}
La fonction carré est strictement décroissante sur \left]-\infty,0 \right] et strictement croissante sur \left[ 0,+\infty \right[.
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.
La fonction carré est toujours positive ou nulle.
La fonction carré est une fonction paire. Autrement dit, son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel x, f\left(-x\right)=f\left(x\right).
Notons f la fonction carré. f étant paire, on a :
- f\left(-5\right)=f\left(5\right)
- f\left(-3\right)=f\left(3\right)
- f\left(-10\right)=f\left(10\right)
Le tableau suivant donne quelques images de réels par la fonction carré :
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
La fonction carré étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Pour tous réels a et b, si a\lt b\lt 0, alors a^2 \gt b^2
- Pour tous réels a et b, si 0\lt a\lt b, alors a^2 \lt b^2
On peut donc dire que le passage au carré :
- "Inverse l'ordre" avec les nombres négatifs.
- "Conserve l'ordre" avec les nombres positifs.
La fonction inverse
Définition
Fonction inverse
La fonction inverse est la fonction f définie sur \mathbb{R}^{*} par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
Le sens de variation
La fonction inverse est strictement décroissante sur \left]-\infty,0 \right[ et sur \left]0,+\infty \right[.
- Pour tous réels a et b, si a\lt b\lt 0, \dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}
- Pour tous réels a et b, si 0\lt a\lt b, \dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.
La fonction inverse est impaire. Autrement dit :
- Son ensemble de définition, \mathbb{R}^*, est centré en 0.
- Pour tout réel x non nul, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Les polynômes du second degré
Polynôme du second degré
Une fonction f définie sur \mathbb{R} dont l'expression peut s'écrire sous la forme f\left(x\right) = ax^2+bx+c, où a, b et c sont des réels tels que a\neq0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.
La fonction définie pour tout réel x par f\left(x\right)=2x^2-6x+1 est une fonction polynôme du second degré avec a=2, b=-6 et c=1.
Parabole
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.
Sommet d'une parabole
On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right)=ax^2+bx+c (avec a\neq0 ).
- Si a\gt0, la parabole représentant f est orientée "vers le haut", autrement dit la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
- Si a\lt0, la parabole représentant f est orientée "vers le bas", autrement dit la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.
Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a\gt0.
Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a\lt0.
L'expression de toute fonction polynôme du second degré f\left(x\right)=ax^2+bx+c peut s'écrire, de façon unique, sous la forme :
f\left(x\right) = a\left(x - \alpha \right)^{2} + \beta
Où \alpha et \beta sont des réels et a est le coefficient de x^2.
Cette forme est appelée forme canonique de f\left(x\right) . Dans ce cas, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées \left( \alpha;\beta \right).
On obtient :
- \alpha=\dfrac{-b}{2a}
- \beta est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire \beta=f\left(\alpha\right)
Soit f la fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right)=2x^2-4x-6. On sait que la forme canonique de f\left(x\right) est du type :
f\left(x\right)=2\left( x-\alpha \right)^2+\beta
Avec :
- \alpha = \dfrac{-b}{2a}
- \beta=f\left(\alpha\right)
Ici, on obtient :
- \alpha = \dfrac{4}{4}=1
- \beta=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1-6=-8
Ici, la forme canonique de f\left(x\right) est donc :
f\left(x\right)=2\left( x-1\right)^2-8
Le sommet de la parabole représentative d'un trinôme du second degré est alors S\left( \alpha;\beta \right).
Les enchaînements
Enchaînement de fonctions
Décrire un enchaînement de fonctions permettant de passer de x à f\left(x\right) revient à détailler l'ensemble des opérations successives à appliquer sur x pour obtenir f\left(x\right). On construit ainsi par étapes la fonction finale à partir de fonctions de référence.
La fonction f, définie pour tout réel x par f\left(x\right) = \left(x + 1\right)^2 - 5, est construite par enchaînement de la fonction affine x \longmapsto x+1, de la fonction carrée, et de la fonction affine x \longmapsto x-5 :
x \longmapsto x\textcolor{Blue}{+1} \longmapsto \left(x+1\right)^{\textcolor{Blue}{2}} \longmapsto \left(x + 1\right)^2 \textcolor{Blue}{- 5}