Sommaire
ILes propriétés caractéristiques du logarithme népérienALa caractérisationBLe signeCLes propriétés algébriquesIIEtude du logarithme népérienALa dérivéeBLe sens de variationLes propriétés caractéristiques du logarithme népérien
La caractérisation
Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} et notée \ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :
\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}
Pour tout réel x strictement positif, \ln\left(x\right) est ainsi l'unique solution de l'équation e^y=x d'inconnue y.
- Pour tout réel x, \ln\left(e^{x}\right) = x
- Pour tout réel x strictement positif, e^{\ln\left(x\right)} = x
- \ln\left(1\right) = 0
Le signe
Les propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :
\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)
\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)
\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)
\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)= - \ln\left(4\right)
\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)
\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)
\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)
\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)
\ln\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(2\right)
Etude du logarithme népérien
La dérivée
Dérivée
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \mathbb{R}^{+*}. Pour tout réel x strictement positif :
\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}
Dérivée de \ln\left(u\right)
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \ln\left(u\right) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :
\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}
Considérons la fonction définie et dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right).
On pose, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :
- u\left(x\right)=2x+1
- u'\left(x\right)=2
On a f=\ln\left(u\right), donc f'=\dfrac{u'}{u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}
Le sens de variation
Sens de variation
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}.
La droite d’équation y = x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.
La fonction logarithme népérien est concave.
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.