Le nombre dérivé
Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.
Le taux d'accroissement
Taux d'accroissement
Soit un réel a appartenant à l'intervalle I. Pour tout réel h non nul tel que a + h appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h le quotient :
\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
En posant x = a + h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :
\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}
Nombre dérivé
Soit a un réel de l'intervalle I. Une fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).
Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :
\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.
Son taux d'accroissement en 1 est égal à :
\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1
Or :
\lim\limits_{x \to 1} x+1 = 2 et 2\in\mathbb{R}
On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
La tangente à une courbe d'une fonction en un point
Tangente
Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(a ; f\left(a\right)\right), de coefficient directeur f'\left(a\right), dont une équation est :
y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1. f est dérivable en 1, on peut donc établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :
y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)
Or :
- f'\left(1\right)=2
- f\left(1\right)=1^2+1=2
On obtient donc :
y = 2\left(x-1\right) + 2
y = 2x - 2 + 2
y = 2x
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation y = 2x.
La fonction dérivée
La dérivée sur un intervalle
Fonction dérivée
Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f', qui a tout réel x de I associe f'\left(x\right).
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
Dérivée seconde
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.
Les dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.
Les dérivées des fonctions usuelles sont données dans le tableau suivant :
| f\left(x\right) | f'\left(x\right) | D_{f} | D_{f'} |
|---|---|---|---|
| \lambda | 0 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n \geq 1\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right) | -\dfrac{n}{x^{n+1}} | \mathbb{R}^{*} | \mathbb{R}^{*} |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \mathbb{R}^{+} | \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}} |
Les opérations sur les dérivées
Soit un réel \lambda, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
| f | f' |
|---|---|
| \lambda u | \lambda u' |
| u + v | u' + v' |
| uv | u'v + uv' |
| \dfrac{1}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) | -\dfrac{v'}{v^2} |
| \dfrac{u}{v} (si v ne s'annule pas sur I ) | \dfrac{u'v–uv'}{v^2} |
Les dérivées de fonctions composées
| f | f' |
|---|---|
| u^{n} \left(n \geq 1\right) | nu'u^{n-1} |
| \sqrt{u} (si u\left(x\right) {\textcolor{Red}\gt} 0 ) | \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} |
Les applications de la dérivation
Le sens de variation d'une fonction
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3-3x+1. f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x :
f'\left(x\right)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)
On détermine le signe de f'\left(x\right) :
On en déduit le sens de variation de f :
- f est croissante sur \left]-\infty;-1 \right] et sur \left[1;+\infty \right[.
- f est décroissante sur \left[ -1;1 \right].
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums locaux d'une fonction
Extremum local
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :
- Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 et f{'} change de signe en a.
- Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.
Si f{'} s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors l'extremum est un minimum.
Si f{'} s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors l'extremum est un maximum.
On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3-3x+1. On sait que f' s'annule et change de signe en 1, avec f'\left(x\right)\leqslant0 sur \left[ -1;1 \right] et f'\left(x\right)\geqslant0 sur \left[1;+\infty \right[.
Ainsi, f admet un minimum local en 1.
f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.
Tangente horizontale
Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.