Un enfant de masse m = 33 kg fait de la balançoire. Après s'être élancé, il se laisse aller.
On assimilera l'enfant à un système ponctuel situé en son centre de gravité G. Lorsqu'il se balance, G est animé d'un mouvement circulaire de rayon R=2{,}8 m. Dans la position extrême, lorsque la balançoire est la plus écartée de la verticale, les cordes de la balançoire forment un angle \theta = 42 ° par rapport à la verticale.
On négligera les frottements. L'énergie potentielle de pesanteur sera nulle dans la position d'équilibre, c'est-à-dire lorsque la balançoire est verticale.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur lorsque la balançoire est dans sa position la plus écartée de la verticale ?
Lorsque la balançoire est dans sa position la plus écartée de la verticale, l'angle par rapport à la verticale est maximal donc \theta = 42 °.
On représente la situation sur un schéma, l'enfant étant assimilé à son centre de gravité G et donc représenté par un point :
Énoncé de la loi de l'énergie potentielle de pesanteur
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps s'exprime :
E_{p} = m \times g \times z
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- g, la constante de gravitation ou champ de pesanteur terrestre (N/kg ou m.s-2)
- z, l'altitude du centre d'inertie de l'objet en mètres (m)
- E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)
Détermination de z_1
L'énergie potentielle de pesanteur étant nulle à la position d'équilibre (lorsque la balançoire est verticale), cela signifie que l'origine O de l'axe (OZ) est confondue avec G_0.
Ici, on doit déterminer la valeur z_1 correspondant à la hauteur atteinte par la balançoire lorsque l'écart est maximal (pour \theta = 42 °) :
Par projection sur l'axe (OZ), on a z_1, ce qui forme un triangle rectangle en ce point (z_0z_1G).
On exprime alors dans un premier temps la longueur du côté z_0z_1 :
z_{0}z_{1} = R \times \cos \theta
Cela permet de déduire la valeur de z_1 par rapport à l'origine O de l'axe :
z_{1} = R - z_{0}z_{1}
z_{1} = R - R \times \cos \theta
z_{1} = R \left( 1- \cos \theta\right)
Détermination de l'énergie potentielle de pesanteur
On applique la formule précédemment énoncée à z_1 :
E_{p_{1}} = m \times g \times z_{1}
E_{p_{1}} = m \times g \times R \times \left( 1- \cos \theta\right)
E_{p_{1}} = 33 \times 9{,}81 \times 2{,}8 \times \left( 1- \cos 42\right)
E_{p_{1}} = 233 J
L'énergie potentielle de pesanteur lorsque la balançoire est dans sa position la plus écartée de la verticale est donc de 233 Joules.
Quelle est la vitesse de l'enfant dans cette position ?
Cas de la vitesse
Lorsque l'enfant atteint la position la plus écartée de la verticale, cela signifie qu'il se dirigeait dans un sens et que, l'instant d'après, il se dirige dans le sens opposé.
À ce moment précis, sa vitesse change de signe et est donc nulle.
On en déduit qu'il en va de même pour son énergie cinétique qui dépend de la vitesse selon l'expression :
E_{c_{1}} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_{1}^{2}
Cas de l'énergie mécanique
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprimant :
E_{m} = E_{c} + E_{p}
Avec :
- E_m, l'énergie mécanique en Joules (J)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
- E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)
On en déduit que, dans le cas présent, elle se résume à son énergie potentielle E_{p_1} puisque E_{c_1} est nulle. On a donc :
E_{m_{1}} = E_{p_{1}}
Soit :
E_{m_{1}} = 233 J
La vitesse de l'enfant dans cette position est nulle donc l'énergie mécanique, se résumant alors à son énergie potentielle, est de 233 Joules.
Que peut-on dire de l'énergie mécanique au cours de ce mouvement ?
Pour déterminer si l'énergie mécanique d'un système se conserve ou non, il faut lui appliquer le principe de conservation de l'énergie.
D'après ce principe, un système est isolé si aucun transfert d'énergie n'est possible entre le système et le milieu extérieur.
L'énergie de ce système isolé ne peut être ni détruite, ni créée : elle se conserve.
Il peut néanmoins se produire des transferts d'énergie à l'intérieur du système isolé mais l'énergie totale du système restera la même.
L'énergie mécanique demeure donc constante en l'absence de forces non conservatives, extérieures au système, telles que les frottements.
Par déduction, quelle est la vitesse v de l'enfant lorsque la balançoire passe dans la position d'équilibre ?
Détermination de l'énergie cinétique
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprime :
E_{m} = E_{c} + E_{p}
Or, lorsque la balançoire passe dans la position d'équilibre, son altitude z est nulle. On en déduit que l'énergie potentielle associée, E_{p2}, est également nulle, si bien que l'énergie cinétique est égale à l'énergie mécanique :
E_{m_{2}} = E_{c_{2}}
L'énergie mécanique se conservant, on a donc :
E_{m_{1}} = E_{m_{2}}
On en déduit :
E_{c_{2}} =233 J
Détermination de la vitesse
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :
E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
On en déduit donc l'expression permettant de déterminer la vitesse associée :
v = \sqrt{\dfrac{2 \times E_{c}}{m}}
Soit en faisant l'application numérique :
v_{2} = \sqrt{\dfrac{2 \times E_{c_{2}}}{m}}
v_{2} = \sqrt{\dfrac{2 \times 233}{33}}
v_{2} = 3{,}8 m.s-1
Lorsque la balançoire passe dans la position d'équilibre, la vitesse de l'enfant est de 3,8 m.s-1.