Problème complet de mécanique Exercice type bac

Le saut de Félix Baumgartner

Le dimanche 14 octobre 2012, Félix Baumgartner est entré dans l'histoire en s'élançant de la stratosphère à plus de 39 000 m d'altitude. Félix Baumgartner a sauté depuis la nacelle d'un ballon avec une vitesse initiale nulle. Au cours de la première phase de sa chute qui a duré quatre minutes et vingt secondes, il a atteint une vitesse de pointe de 1342 km.h^-1, soit MACH 1,24 ! Dans une seconde phase, il a ouvert son parachute. Au total, son saut depuis la stratosphère a duré neuf minutes et trois secondes.

Avec ce saut, trois records du monde ont été battus :

"la chute la plus rapide" : il a atteint une vitesse maximale de 1342 km.h^-1
"le saut le plus haut" : 39 045 m (ancien record : 31 333 m)
le plus haut voyage en ballon d'un Homme : 39 045 m (ancien record : 34 668 m).

Dans cet exercice, on cherche à évaluer la pertinence d'un modèle de chute.

Description de l'atmosphère terrestre

Zone de l'atmosphère	troposphère	stratosphère	mésosphère	thermosphère
Altitude (en km)	de 0 à 10	de 10 à 50	de 50 à 80	plus de 80
Masse volumique moyenne de l'air (en kg.m^-3)	entre 1 et 0,1	entre 0,1 et 10^-3	entre 10^-3 et 10^-5	moins de 10^-5

Données :

La chute d'un objet est dite libre si l'objet n'est soumis qu'à l'action de la Terre et si on peut négliger l'action de l'air. Lorsque l'action de l'air n'est pas négligeable, l'effet de l'air est d'autant plus important que la vitesse de chute est grande.
Masse de Félix Baumgartner et de son équipement : m = 120 kg
Constante de gravitation universelle : G = 6{,}67 \times 10^{-11} m³.kg^-1.s^-2
Masse de la Terre : M_T = 5{,}98 \times 10^{24} kg
Rayon de la Terre : R_T =6\ 380 km

Attraction gravitationnelle lors du saut

Quelle est, en fonction de G, R_T, H, m et M_T, l'expression de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur Félix Baumgartner lorsqu'il s'élance dans le vide à l'altitude H ?

F = G \times \dfrac{m \times M_{T}}{\left(R_{T}+H\right)^2}

F = G \times \dfrac{\left(m \times M_{T}\right)^2}{\left(R_{T}+H\right)^2}

F = G^2 \times \dfrac{m \times M_{T}}{\left(R_{T}+H\right)^2}

F = G \times \dfrac{m \times M_{T}}{R_{T}+H}

On assimile le poids \overrightarrow{P} à cette force d'attraction gravitationnelle.

Par déduction, quelle est l'expression correcte de l'intensité de la pesanteur g, en fonction de M_T et de R_T ?

g=\dfrac{G \times M_{T}}{\left(R_{T}+H\right)^2}

g=\dfrac{M_{T}}{{\left(R_{T}+H\right)}^2}

g=\dfrac{G \times M_{T}}{R_{T} + H}

g=\dfrac{G \times M_{T}}{R_{T} + H}^2

Par déduction, quelles sont les valeurs correctes de l'intensité de la pesanteur g₀et g(H₀) respectivement aux altitudes 0 et 39 045 m ?

g = 9{,}8 m.s^-2 et g\left(H_0\right) = 9{,}7 m.s^-2

g = 4{,}5 m.s^-2 et g\left(H_0\right) = 4{,}8 m.s^-2

g = 9{,}8 m.s^-2 et g\left(H_0\right) = 4{,}8 m.s^-2

g = 4{,}5 m.s^-2 et g\left(H_0\right) = 9{,}7 m.s^-2

Étude de la première phase du saut de Félix Baumgartner avec le modèle de la chute libre

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le repère choisi possède un axe Oy vertical, orienté vers le haut.

Dans cette première phase, on admet que l'accélération de la pesanteur g est égale à 9,71 m.s^-2.

Quelle est l'expression correcte de l'accélération de Félix Baumgartner ?

\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}

\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{g}

\overrightarrow{a}=m \overrightarrow{g}

\overrightarrow{a}=-m\overrightarrow{g}

Quelle est l'équation horaire de son mouvement selon l'axe Oy ?

y\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\times g\times t^2+ H_0

y\left(t\right)=2\times\dfrac{v^2}{g}

y\left(t\right)=\dfrac{t^2}{g}

y\left(t\right)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{t^3}{g}+H_0

Par déduction, quelle est la date t₁ correspondant au record de vitesse de Félix Baumgartner ?

t_1 = \dfrac{v\left(t_1\right)}{g} = \dfrac{1\ 342/3{,}6}{9{,}71} = 38{,}4 s

t_1 = \dfrac{v\left(t_1\right)}{g} = \dfrac{1\ 342}{9{,}71} = 138 s

t_1 = 2\times\dfrac{v\left(t_1\right)}{g} = \dfrac{2\times1\ 342/3{,}6}{9{,}71} = 76{,}8 s

t_1 = 2\times\dfrac{ v\left(t_1\right)}{g} = \dfrac{2 \times1\ 342}{9{,}71} = 276 s

Quelle distance Félix Baumgartner a-t-il parcourue lorsqu'il atteint cette vitesse maximale ?

D= \dfrac{1}{2}gt_1^2 = \dfrac{1}{2} \times 9{,}71 \times 38{,}4^2 = 7{,}16 \times 10^3 m

D= \dfrac{1}{2}gt_1 = \dfrac{1}{2} \times 9{,}71 \times 38{,}4 = 186 m

D= \dfrac{1}{2}gt_1^2 = \dfrac{1}{2} \times 9{,}71 \times 50{,}0^2 = 1{,}21 \times 10^4 m

D= \dfrac{1}{2}gt_1 = \dfrac{1}{2} \times 9{,}71 \times 50{,}0 = 243 m

Quelle est alors son altitude H₁ ?

H_1 = H_0 - D = 39{,}045 \times 10^3 - 7{,}16 \times 10^3 = 31{,}89 \times 10^3 m

H_1 = H_0 - D = 39{,}045 \times 10^3 - 186 = 38{,}9 \times 10^3 m

H_1 = H_0 - D = 39{,}045 \times 10^3 - 1{,}21 \times 10^4 = 2{,}69 \times 10^4 m

H_1 = H_0 - D = 39{,}045 \times 10^3 - 243 = 38{,}8 \times 10^3 m

Dans la stratosphère, le modèle choisi de la chute libre est-il pertinent ?

Quel argument justifie l'utilisation précédente du modèle de chute libre ?

Ce modèle est pertinent car la poussée d'Archimède due à l'air est négligeable devant le poids.

Le modèle choisi de la chute libre est pertinent car les forces de frottements ne sont pas négligeables.

Ce modèle est pertinent car la poussée d'Archimède due à l'air n'est pas négligeable devant le poids.

Félix Baumgartner est près du sol rendant le modèle de la chute libre pertinent.

En réalité, la distance parcourue par Félix Baumgartner lorsqu'il atteint sa vitesse maximale est supérieure à celle calculée précédemment.

Quel autre argument permet d'invalider le modèle de la chute libre ?

Les forces de frottements sur Félix Baumgartner sont d'autant plus importantes que la vitesse de chute est grande.

Les forces de frottements sur Félix Baumgartner sont d'autant plus faibles que la vitesse de chute est grande.

Le poids de Félix Baumgartner est d'autant plus important que la vitesse de chute est grande.

Le poids de Félix Baumgartner est d'autant plus faible que la vitesse de chute est grande.

Analyse des transferts d'énergie lors de la première phase du saut

Lors de la première phase de la chute, l'action de l'air sur Félix Baumgartner n'est pas négligeable.

Dans cette phase, son énergie mécanique se conserve-t-elle ?

Non, car une partie de son énergie est dissipée en chaleur sous l'effet des frottements de l'air.

Oui, car l'énergie cinétique et l'énergie potentielle se conservent.

Oui, car une partie de l'énergie dissipée par les frottements est convertie en énergie cinétique.

Non, car l'énergie potentielle et l'énergie cinétique augmentent.