Problème complet de mécanique Exercice type bac

Quelques aspects de la physique du vol avec l'A380

Dans cet exercice, on s'intéresse à quelques forces mises en jeu dans la physique du vol d'un avion telles que la force de poussée, la portance et la traînée.

L'A380 est le plus gros avion civil jamais conçu et le troisième plus gros avion de l'Histoire. Surnommé "Super Jumbo", il possède un double pont qui s'étend sur toute la longueur du fuselage, lui permettant d'accueillir 555 passagers. D'une masse au décollage de 560 tonnes et emportant jusqu'à 310 000 L de carburant, ce quadriréacteur offre une autonomie record de 15 200 km (grâce en particulier à l'usage massif de matériaux composites). La force de poussée maximale d'un réacteur d'A380 vaut 310 kN.

Adapté de mondo-aero.fr

Modélisation de la physique du vol d'un avion à réaction

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, en vol, l'avion à réaction est soumis essentiellement à l'action de quatre forces :

\overrightarrow{P}, le poids de l'avion
\overrightarrow{F}_{portance}, la portance, générée par l'écoulement de l'air autour de l'avion, de direction perpendiculaire à la direction du mouvement et orientée vers le haut
\overrightarrow{F}_{trainée}, la traînée, générée également par l'écoulement de l'air autour de l'avion, de même direction que celle du mouvement de l'avion et de sens opposé
\overrightarrow{F}_{poussée}, la force de poussée exercée par les gaz éjectés à la sortie des réacteurs. On se limite à des situations où la direction et le sens de cette force sont les mêmes que ceux du mouvement de l'avion

Forces aérodynamiques

La portance et la traînée sont deux forces dites aérodynamiques car elles résultent de l'action exercée par l'air en mouvement relatif sur la surface de l'avion (essentiellement les ailes).

Des expériences effectuées en soufflerie utilisant un écoulement d'air de vitesse ont permis d'établir les lois suivantes pour les forces aérodynamiques :

F_{portance} = \dfrac{1}{2} \rho v^2 C_zS

F_{trainée} = \dfrac{1}{2} \rho v^2 C_xS

avec :

\rho : masse volumique de l'air (kq.m^-³)
v : vitesse d'écoulement de l'air par rapport à l'avion (m.s^-1}
C_z: coefficient de portance (sans unité)
C_x : coefficient de trainée (sans unité)
S : surface utile (m²)

Plein gaz au décollage !

Caroline est une élève de terminale S curieuse et passionnée d'aviation. Elle se demande si le fonctionnement des quatre réacteurs est nécessaire lors de la phase de roulage, c'est-à-dire lorsque l'avion accélère sur la piste avant de décoller.

En lisant un article spécialisé décrivant la phase de roulage de l'A380, elle relève les données techniques suivantes :

distance parcourue sur la piste horizontale : AB = 1{,}8 km
vitesse au début de la phase de roulage (point A) : 0 km.h^-1
vitesse de l'avion à la fin de la phase de roulage (point B) : 320 km.h^-1

Caroline choisit de faire trois hypothèses valables pendant la phase de roulage :

la force de poussée \overrightarrow{F}_{poussée} est considérée constante
la force de traînée est négligeable par rapport à la force de poussée
on ne prendra pas en compte les forces de frottement exercées par le sol sur les roues

Quelle est l'expression donnant l'énergie cinétique E_c de l'avion à partir de sa vitesse v ?

E_{c}=\dfrac{1}{2}m.v^2

E_{c}=2.m.v^2

E_{c}=m.v^2

E_{c}=\dfrac{4}{3}m.v^3

Combien vaut la variation d'énergie cinétique \Delta E_C de l'avion entre le début et la fin de la phase de roulage ?

\Delta E_{c} = 2{,}21.10^9 J

\Delta E_{c} = - 2{,}21.10^6 J

\Delta E_{c} = 2{,}21.10^3 J

\Delta E_{c} = 0 J

La variation d'énergie cinétique de l'avion pendant la phase de roulage est égale à la somme des travaux des différentes forces qu'il subit sur ce trajet :

E_c\left(B\right) - E_c\left(A\right) = \sum_{i}^{}W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)

Si on néglige la force de traînée, quelle est la seule force dont le travail n'est pas nul ?

\overrightarrow{F}_{poussée} car c'est la seule force qui ne soit pas perpendiculaire au déplacement de l'avion

\overrightarrow{F}_{trainée} car cette force est perpendiculaire au déplacement de l'avion

\overrightarrow{P} car le travail du point ne dépend du chemin suivi

\overrightarrow{R} la réaction normale car elle n'est pas perpendiculaire au déplacement

Quelle relation liant la valeur de la force de poussée à l'énergie cinétique, au point B, et à la longueur du déplacement AB peut-on trouver ?

F_{poussée} = \dfrac{E_c\left(B\right)}{AB}

F_{poussée} = -\dfrac{E_c\left(B\right)}{AB}

F_{poussée} = \dfrac{E_c\left(B\right)}{2.AB}

F_{poussée} = -\dfrac{E_c\left(B\right)}{2.AB}

Par déduction, quelle est la valeur correcte de la force de poussée ?

F_{poussée} = 1,2 x 10⁶ N

F_{poussée} = -1,2 x 10⁶ N

F_{poussée} = -0,6 x 10⁶ N

F_{poussée} = 0,6 x 10⁶ N

Quel est le rapport correct de la valeur de la force de poussée et de celle d'un réacteur ?

\dfrac{F_{poussée}}{F_{valeur}} = 4

\dfrac{F_{poussée}}{F_{valeur}} = 2

\dfrac{F_{poussée}}{F_{valeur}} = -2

\dfrac{F_{poussée}}{F_{valeur}} = -4

Est-il alors nécessaire que les quatre réacteurs fonctionnent lors de la phase de roulage ?

Oui

Non

Le vol de croisière

En vol de croisière entre New York et Hong Kong, l'A380 possède les caractéristiques suivantes :

vitesse de croisière dans le référentiel terrestre : 945 km.h^-1
altitude constante : 10 km
surface utile : 845 m²
coefficient de portance : C_z = 0{,}32
coefficient de traînée : C_x = 0{,}020
intensité de la pesanteur : g = 9{,}8 rn.s^-2

Durant le vol de croisière sur une durée suffisamment courte, on considère que :

l'A380 est animé d'un mouvement rectiligne horizontal uniforme
sa masse est constante
l'atmosphère est supposée immobile dans le référentiel terrestre

L'étude suivante se fera dans ces conditions.

On assimilera l'avion à un point qui sera considéré comme le point d'application des forces auxquelles il est soumis.

Quelle est la représentation correcte (mais sans souci d'échelle) des forces appliquées sur l'avion en vol de croisière ?

Combien vaut, dans la situation donnée, la masse volumique de l'air ?

À 10 km d'altitude, \rho = 0{,}40 kg.m^-3

À 10 km d'altitude, \rho = 0{,}60 kg.m³

À 10 km d'altitude, \rho = 1{,}0 kg.m³

À 10 km d'altitude, \rho = 0{,}20 kg.m³

Quel est le calcul correct de la valeur de la force de poussée ?

F_{poussée} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}40 \times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}020 \times 845 = 2{,}3 \times 10^5 N

F_{poussée} = 0{,}40 \times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}020 \times 845 = 4{,}6 \times 10^5 N

F_{poussée} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}20 \times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}020 \times 845 = 1{,}2 \times 10^5 N

F_{poussée} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}80 \times 945^2 \times 0{,}020 \times 845 = 6{,}4 \times 10^6 N

Combien vaut la force de poussée maximale des quatre réacteurs ?

F_{\text{4 réacteurs}} = 4 \times 310 \times 10^3 = 1{,}24 \times 10^6 N

F_{\text{4 réacteurs}} = 4 \times 310 = 1{,}24 \times 10^3 N

F_{\text{4 réacteurs}} = 4 \times 320 \times 10^3 = 1{,}28 \times 10^6 N

F_{\text{4 réacteurs}} = 4 \times 320 = 1{,}28 \times 10^3 N

Pourquoi est-il pertinent de voler à haute altitude en vol de croisière ?

La masse volumique est plus faible réduisant la force de poussée et engendrant ainsi des économies de carburant.

L'altitude réduit les chances de collisions avec un autre avion.

La masse volumique est plus élevée réduisant la force de poussée faisant ainsi des économies de carburant.

La masse volumique est plus faible réduisant la force de portance et engendrant ainsi des économies de carburant.

Le poids de l'avion et la portance se compensent.

Quelle relation lie ces deux forces ?

\overrightarrow{P} = - \overrightarrow{F}_{portance}

\overrightarrow{P} = \overrightarrow{F}_{portance}

P = -F_{portance}

P = \overrightarrow{F}_{portance}

Quel est le calcul correct de la masse de l'Airbus A380, sur la durée considérée ?

m = \dfrac{0{,}40\times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}32 \times 845}{2 \times 9{,}8}=3{,}8 \times10^5 kg

m = \dfrac{0{,}40\times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}32 \times 845}{9{,}8}=5{,}6 \times10^5 kg

m = \dfrac{0{,}20\times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}32 \times 845}{2 \times 9{,}8}=1{,}9 \times10^5 kg

m = \dfrac{0{,}20\times \left(\dfrac{945}{3{,}6}\right)^2 \times 0{,}32 \times 560}{2 \times 9{,}8}=2{,}5 \times10^5 kg

D'où provient la différence entre cette masse et celle au décollage donné dans l'énoncé ?

Une partie de la masse embarquée au décollage est celle du carburant qui, depuis, a été consommé.

La masse de l'avion varie avec la masse volumique de l'air, plus faible à haute altitude.

La masse de l'avion varie avec la masse volumique de l'air, plus importante à haute altitude.

Le poids de l'avion est plus faible à haute altitude, donc sa masse aussi.