En mécanique, la dynamique étudie l'action des forces sur un système et les conséquences de ces actions sur son mouvement. Pour compléter l'étude des mouvements, il faut également s'intéresser aux aspects énergétiques. La préservation des ressources énergétiques mondiales étant un impératif même à court terme, comprendre les énergies mises en jeu lorsque l'on applique des forces à un système et les échanges qui les impliquent est indispensable. Pour modéliser cet aspect énergétique lié aux forces mécaniques, les physiciens ont introduit la notion de travail d'une force et d'énergie potentielle.
Le travail d'une force
La notion de travail d'une force
On considère une force modélisant une action mécanique agissant sur un système quelconque. Cette force est caractérisée, entre autres, par le point appartenant au système sur lequel elle s'applique :
Sous l'effet de la force, le point d'application (et donc le système) va se déplacer. Le travail d'une force traduit l'énergie que la force a dû fournir lors du déplacement du point d'application d'une certaine distance dans une direction donnée.
La définition du travail d'une force
Travail d'une force
Le travail W d'une force \overrightarrow{F} constante, s'appliquant en un point parcourant une distance \overrightarrow{AB}, est donné par la relation suivante :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\left(\alpha\right)
Avec :
- W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right) le travail de la force \overrightarrow{F} (en joules, notés J)
- \overrightarrow{F} la force appliquée sur le système (dont la norme F s'exprime en N)
- \overrightarrow{AB} le vecteur déplacement du point d'application de \overrightarrow{F} (dont la norme AB s'exprime en m)
- \alpha est l'angle entre les vecteurs \overrightarrow{F} et \overrightarrow{AB}
Travail moteur et travail résistant
Le travail est qualifié de moteur ou résistant en fonction de son signe :
- Si W>0, le travail est moteur.
- Si W<0, le travail est résistant.
Pour soulever une voiture dont la masse vaut une tonne et demi, il faut une force \overrightarrow{F} d'une valeur de 15 000 N environ dont la direction est la verticale du lieu considéré. Le travail que cette force devra fournir pour soulever la voiture à la verticale d'une hauteur de 3 mètres sera de :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB}
W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=F\cdot AB\cdot \cos \left(\alpha\right)
Or, ici les vecteurs \overrightarrow{F} et \overrightarrow{AB} sont parallèles, d'où :
\alpha = 0 ° \Leftrightarrow \cos\left( \alpha\right) = 1
Soit :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=1{,}5.10^4\times 3{,}0
W_{AB}\left( \overrightarrow{F} \right)=4{,}5.10^4 J
Le travail étant positif, il s'agit bien d'un travail moteur.
Les forces et l'énergie potentielle
Les forces conservatives
Force conservative
Une force est dite conservative si le travail de cette force ne dépend pas du chemin suivi par son point d'application mais uniquement de la distance entre la position de départ et la position d'arrivée.
L'énergie potentielle
Énergie potentielle
L'énergie potentielle, notée E_p, est une énergie dont dérive une force conservative. Elle représente une énergie dont dispose le système et pouvant être transformée en une autre forme d'énergie.
Relation entre énergie potentielle et travail
La variation d'énergie potentielle, notée \Delta E_p, d'un système entre deux points A et B est liée au travail de la force conservative \overrightarrow{F_c} par la relation suivante :
\Delta_{AB} E_p=-W_{AB}\left( \overrightarrow{F_c} \right)
Le travail d'une force conservative traduit donc la variation d'énergie potentielle.
Le cas de la force de pesanteur
Soit un système quelconque de masse m en mouvement soumis à la force de pesanteur (donc son poids) uniquement :
Le poids est une force conservative donc le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des altitudes de départ et d'arrivée.
Travail du poids
Le travail du poids est défini par la relation suivante :
W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\cdot g\cdot \left( z_A-z_B \right)
Avec :
- W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right) le travail du poids (en J)
- m la masse du système (en kg)
- g la valeur de l'accélération de la pesanteur (9,81 en m.s-2)
On considère une balle de masse m valant 200 grammes lancée depuis un point A situé au niveau du sol (altitude de 0,00 mètre) suivant une trajectoire parabolique. On nomme H le point définissant le sommet de la parabole situé à une altitude de 5,00 mètres. Le travail du poids pour atteindre la hauteur h vaut :
W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\cdot g\cdot \left( z_A-z_B \right)
W_{SH}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\cdot g\cdot \left( z_S-z_H \right)
W_{SH}\left( \overrightarrow{P} \right)=200.10^{-3}\times 9{,}81\times \left( 0{,}00-5{,}00 \right)
W_{SH}\left( \overrightarrow{P} \right)=-9{,}81 J
Le travail est résistant car le poids s'oppose au mouvement.
L'énergie potentielle associée au poids est l'énergie potentielle de pesanteur, notée E_{P_P} . La variation d'énergie potentielle de pesanteur au cours d'un mouvement est donc :
\Delta_{AB}E_ {p_p}=-W_{AB}\left( \overrightarrow{P} \right)=-m\cdot g\cdot \left( z_A-z_B \right)
Le cas de la force électrique (ou force de Coulomb)
Soit un système quelconque de charge q en mouvement dans un champ électrostatique uniforme entre deux armatures d'un condensateur :
La charge subit la force électrique \overrightarrow{F_e}=q\cdot \overrightarrow{E} . Cette force est conservative donc le travail de la force de Coulomb ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la différence de potentiel (ou tension) U_{AB} entre le point de départ et le point d'arrivée.
Travail de la force électrique
Le travail de la force de Coulomb est défini par la relation suivante :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right)=q\cdot \left( V_A-V_B \right)=q\cdot U_{AB}
Avec :
- W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right) le travail de la force de Coulomb (en J)
- q la charge électrique (en C)
- V_A le potentiel électrique du point A (en volt V)
- V_B le potentiel électrique du point B (en volt V)
- U_{AB} la différence de potentiel (ou tension) entre le point A et le point B (en volt V)
On considère un proton dont la charge électrique vaut 1{,}6.10^{-19} Coulomb initialement au potentiel électrique V_A de 3 volts. Ce dernier passe dans un condensateur où il règne un champ électrostatique \overrightarrow{E} uniforme. Il subit donc une force électrique \overrightarrow{F_e}. Le travail fourni par cette force pour faire passer le proton à un potentiel V_B nul vaut :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right)=q\cdot \left( V_A-V_B \right)
W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right)=1{,}6.10^{-19}\times \left( 3-0 \right)
W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right)=4{,}8.10^{-19} J
Le travail est moteur car le champ électrostatique est orienté dans la direction du mouvement du proton.
L'énergie potentielle associée à la force électrique est l'énergie potentielle électrostatique (notée dans ce cours E_{P_{élec}} ). La variation d'énergie potentielle électrostatique au cours d'un mouvement est donc :
\Delta_{AB}E_ {p_{élec}}=-W_{AB}\left( \overrightarrow{F_e} \right)=-q\cdot \left( V_A-V_B \right)
Le cas des forces de frottements
Forces de frottements
Les forces de frottements, notées \overrightarrow{F_f}, sont dues à la mise en contact du système avec un milieu matériel extérieur. Ces frottements sont de deux types :
- Des frottements fluides si le milieu extérieur est un liquide ou un gaz.
- Des frottements solides si le système est en contact avec un solide.
Représentation de forces de frottements
Il est beaucoup plus facile de déplacer une lourde charge sur de la glace que sur du béton car les frottements solides entre la charge et le sol sont moindres sur la glace.
De même, si on jette une bille en métal dans un tube rempli de miel, sa vitesse va ralentir une fois dans le miel car les frottements fluides dans le miel sont plus importants que dans l'air.
- Les forces de frottements sont proportionnelles à la vitesse donc leur vecteur est colinéaire avec le vecteur vitesse.
- Elles s'opposent toujours au mouvement donc leur vecteur est de sens opposé au vecteur vitesse.
- Elles ne sont pas conservatives donc le travail des forces de frottements dépend du chemin suivi.
Travail des forces de frottements
Le travail d'une force de frottements \overrightarrow{F_f} dont la norme est constante lors d'un mouvement rectiligne est défini par la relation suivante :
W_{AB}\left( \overrightarrow{F_f} \right)=-F_f\cdot AB
Avec :
- W_{AB}\left( \overrightarrow{F_f} \right) le travail de la force de frottement (en J)
- F_f la valeur de la force de frottements (en N)
- AB la distance parcourue par le point d'application (en m)
Les forces de frottement étant non conservatives, il n'existe pas d'énergie potentielle de frottement.
Les transferts énergétiques
L'énergie mécanique d'un système
Énergie mécanique d'un système
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique :
E_m\left(t\right)=E_p\left(t\right)+E_c\left(t\right)
Avec :
- E_m\left(t\right) l'énergie mécanique du système à l'instant t (en J)
- E_p\left(t\right) l'énergie potentielle du système à l'instant t (en J)
- E_c\left(t\right) l'énergie cinétique du système à l'instant t (en J)
Énergie cinétique
L'énergie cinétique correspond à l'énergie que possède un système du fait d'être en mouvement. Elle est définie par la relation suivante :
E_C\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot \left(v\left(t\right)\right)^2
Avec :
- E_c\left(t\right) l'énergie cinétique du système à l'instant t (en J)
- m la masse du système (en kg)
- v\left(t\right) la vitesse du système à l'instant t (dont la norme est en m.s-1)
Le théorème de l'énergie mécanique
Le théorème de l'énergie mécanique permet d'exprimer la variation d'énergie mécanique au cours d'un mouvement.
Théorème de l'énergie mécanique
Au cours d'un mouvement entre un point A et un point B, la variation d'énergie mécanique d'un système est égale au travail des forces non conservatives, ce que traduit l'égalité suivante :
\Delta_{AB}E_m=W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right)
Avec :
- \Delta_{AB}E_m la variation d'énergie mécanique entre les positions A et B du système (en J)
- W_{AB}\left( \overrightarrow{F_{nc}} \right) le travail des forces non conservatives entre les positions A et B du système (en J)
L'application à l'étude des oscillateurs libres
La définition d'un oscillateur libre
Oscillateurs mécaniques
Un oscillateur mécanique est un système possédant un mouvement périodique dû à des oscillations autour d'une position d'équilibre.
Un pendule simple est un exemple d'oscillateur :
Oscillations d'un pendule simple
La masse oscille autour de la position x_0 entre les positions x_{max} et x_{min}. La durée d'un aller-retour est le temps T_0.
Oscillateur libre
Un oscillateur libre est un oscillateur pour lequel les oscillations se font sans aucune intervention extérieure. Un tel oscillateur est caractérisé par sa période propre T_0 qui représente la durée d'une oscillation.
Les transferts énergétiques lors d'oscillations sans frottements
Lors du mouvement de l'oscillateur, des échanges d'énergie ont lieu. L'énergie potentielle emmagasinée lorsque le système s'écarte de sa position d'équilibre est convertie en énergie cinétique lorsqu'il revient vers cette position :
Transferts d'énergie en régime périodique
S'il n'y a pas de frottements ou s'ils sont négligeables, l'énergie mécanique reste constante d'après le théorème de l'énergie mécanique :
\Delta_{AB}E_m=0 \Leftrightarrow E_m\left(t\right)=constante
On dit que l'énergie est conservée. L'oscillateur est en régime d'oscillations périodiques de période T_0.
L'amortissement des oscillations par frottements
La présence de frottements implique que l'énergie mécanique décroît au cours du temps puisque la variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces de frottements qui est résistant donc négatif :
Dissipation de l'énergie mécanique par frottements
On dit que l'énergie se dissipe sous forme de chaleur. Comme l'énergie mécanique décroît, l'amplitude des oscillations décroît elle aussi jusqu'à l'arrêt du système dans sa position d'équilibre. On appelle ce régime d'oscillations le régime pseudo-périodique :
Régime d'oscillations pseudo-périodique
Si les frottements sont suffisamment forts, on peut voir disparaître les oscillations. L'oscillateur est alors en régime apériodique :
