Une usine spécialisée dans la fabrication de moteurs de motos produit entre 0 et 5000 pièces par an.
Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :
C\left(x\right)=\dfrac{1}{15}x^3-25x^2+3\ 000x
Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :
C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)
Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :
P\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x+3\ 900
R\left(x\right) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :
R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)
Quelle est, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces ?
Pour quelles valeurs de x la recette marginale R_M\left(x\right) est-elle égale au coût marginal C_M\left(x\right) ?
Quel est, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces ?
Quelle est la valeur de B'\left(x\right) ?
Quelle proposition montre que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal ?