Etudier deux suites imbriquées Problème

u_1=\dfrac{4}{7} et v_1=\dfrac{3}{7}

u_1=\dfrac{3}{5} et v_1=\dfrac{4}{5}

u_1=\dfrac{8}{7} et v_1=\dfrac{2}{3}

u_1=\dfrac{1}{9} et v_1=\dfrac{2}{9}

On a w_{0}=0+1=1 et w_{1}=\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{7}{7}=1 alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=1

On a w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{3u_n+4v_n}{7}+\dfrac{4u_n+3v_n}{7}=\dfrac{7u_n+7v_n}{7}=u_n+v_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=1

On a w_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{3u_n+4v_n}{7}-\dfrac{4u_n+3v_n}{7}=\dfrac{7u_n-7v_n}{7}=u_n-v_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=-1

On a w_{0}=0-1=-1 et w_{1}=-\dfrac{4}{7}-\dfrac{3}{7}=-\dfrac{7}{7}=-1 alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=-1

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7}-\dfrac{3u_n+4v_n}{7}=\dfrac{u_n-v_n}{7}=\dfrac{1}{7}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{1}{7}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = -\dfrac{1}{7} et son premier terme est x_0=1.

Forme explicite: x_n=\left(- \dfrac{1}{7} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7}-\dfrac{3u_n+4v_n}{7}=\dfrac{u_n-v_n}{7}=\dfrac{1}{7}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{1}{7}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{1}{7} et son premier terme est x_0=1.

Forme explicite: x_n=\left(\dfrac{1}{7} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7}-\dfrac{3u_n+4v_n}{7}=\dfrac{u_n-v_n}{7}=\dfrac{1}{7}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{1}{7}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est x_0=1 et son premier terme est q=-\dfrac{1}{7}.

Forme explicite: x_n=1- \dfrac{1}{7} n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7}-\dfrac{3u_n+4v_n}{7}=\dfrac{u_n-v_n}{7}=\dfrac{1}{7}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{1}{7}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{1}{7} et son premier terme est x_0=1.

Forme explicite: x_n=1+\left( \dfrac{1}{7} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

Pour tout entier naturel n, u_n=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right] et v_n=\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right].

Pour tout entier naturel n, u_n=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{7}\right)^n\right] et v_n=\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{1}{7}\right)^n\right].

Pour tout entier naturel n, u_n=\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right] et v_n=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right].

Pour tout entier naturel n, u_n=2\left[1-\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right] et v_n=2\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right].