Etudier deux suites imbriquées Problème

Soient \left(u_n\right) et \left(v_n\right) les suites définies sur \mathbb{N} par :

\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{3}\\ u_{n+1}=\dfrac{10u_n-3v_n}{7} \end{cases} et \begin{cases} v_0=\dfrac{2}{3}\\ v_{n+1}=\dfrac{-3u_n+10v_n}{7} \end{cases}

On cherche à déterminer une forme explicite de u_n et v_n.

On pose, pour tout entier naturel n :

w_n=u_n+v_n et x_n=v_n-u_n

Quelles sont les valeurs de u_1 et v_1 ?

u_1=\cfrac{28}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{119}{3}

u_1=\cfrac{4}{21} \text{ et } v_1=\cfrac{17}{21}

u_1=\cfrac{21}{4}\text{ et } v_1=\cfrac{21}{17}

u_1=\cfrac{4}{21}\text{ et } v_1=1

Quelle est l'expression de w_n en fonction de n ?

w_n=-1

w_n=n

w_n=\cfrac{2}{3}n

w_n=1

Quelle est l'expression de x_n en fonction de n ?

x_n=\cfrac{1}{3}\times\left(\cfrac{13}{7}\right)^n

x_n=\left(\cfrac{13}{7}\right)^n

x_n=-\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n

x_n=\cfrac{1}{3}\left(-\cfrac{13}{7}\right)^n

Quelles sont les expressions de u_n et de v_n en fonction de n ?

u_n=-\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n+\cfrac{1}{2}\text{ et } v_n=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n+\cfrac{1}{2}

u_n=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n+\cfrac{1}{2}\text{ et } v_n=-\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n-\cfrac{1}{2}

u_n=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n-\cfrac{1}{2}\text{ et } v_n=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n+\cfrac{1}{2}

u_n=\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n-\cfrac{1}{2}\text{ et } v_n=-\cfrac{1}{6}\left(\cfrac{13}{7}\right)^n-\cfrac{1}{2}