Les notions de grandeur produit et grandeur quotient
Les grandeurs produits
Une grandeur produit
Une grandeur produit est une grandeur qui est le produit de plusieurs autres grandeurs.
L'énergie E consommée par un appareil électrique de puissance P durant une durée t est une grandeur produit car E=P\times t.
Si une ampoule possède une puissance de 7 W et qu'on l'utilise pendant 2 h, l'énergie consommée sera de 7\times 2=14 \text{ Wh}.
Les aires et les volumes sont également des grandeurs quotients.
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est donnée par le produit \mathcal{A}=L\times \ell.
Le volume d'un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) de longueur L, de largeur \ell et de hauteur h est donnée par le produit \mathcal{V}=L\times \ell\times h.
Les unités des grandeurs produits font apparaître un produit de plusieurs unités (qui peuvent être les mêmes).
L'aire d'un rectangle de longueur 7 m et de largeur 3 m est :
\mathcal{A}=7\times 3=21 \text{ m}^2
L'unité est ici \text{m}\times \text{m} que l'on note {m}^2.
Les grandeurs quotients
Une grandeur quotient
Une grandeur quotient est une grandeur obtenue par quotient de deux autres grandeurs.
La vitesse moyenne V d'un mobile parcourant une distance d pendant une durée t est une grandeur quotient car V=\dfrac{d}{t}.
Un athlète courant le 100 m en 10 s a une vitesse moyenne égale à V=\dfrac{100}{10}=10 \text{ m/s}.
Les unités des grandeurs quotients font apparaître un quotient de plusieurs unités.
Un véhicule parcourant 212 km en 2 h a une vitesse moyenne égale à :
V=\dfrac{212}{2}=106\text{ km/h}.
L'unité est ici \dfrac{\text{km}}{\text{h}}, notée km/h ou \text{km}.\text{h}^{-1} (dans le système unitaire international).
Les aires et volumes des figures et solides usuels
Les aires des figures usuelles
L'aire d'un carré de côté c est donnée par :
\mathcal{A}=c\times c=c^2
Un carré de côté 4 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=4\times 4
\mathcal{A}=16\text{ cm}^2
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est donnée par :
\mathcal{A}=L\times \ell
Un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 4 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=7\times 4
\mathcal{A}=28\text{ cm}^2
L'aire d'un triangle de base b et de hauteur associée h est donnée par :
\mathcal{A}=\dfrac{b\times h}{2}
Un triangle de base 6 cm et de hauteur associée 5 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{6\times 5}{2}
\mathcal{A}=15\text{ cm}^2
L'aire d'un parallélogramme de base b et de hauteur associée h est donnée par :
\mathcal{A}=b\times h
Un parallélogramme de base 5 cm et de hauteur associée 3 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=5\times 3
\mathcal{A}=15\text{ cm}^2
L'aire d'un trapèze de petite base b, de grande base B et de hauteur associée h est donnée par :
\mathcal{A}=\dfrac{(B+b)\times h}{2}
Un trapèze de bases 6 cm et 4 cm et de hauteur associée 3 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{(6+4)\times 3}{2}
\mathcal{A}=15\text{ cm}^2
L'aire d'un disque de rayon R est donnée par :
\mathcal{A}=\pi\times R^2
Un disque de rayon 6 cm a une aire égale à :
\mathcal{A}=\pi\times 6^2
\mathcal{A}=36\pi\text{ cm}^2
\mathcal{A}\approx 113\text{ cm}^2
Les aires et volumes des solides usuels
Le volume d'un cube d'arête c est donné par :
\mathcal{V}=c\times c\times c=c^3
Un cube d'arête 5 cm a un volume égal à :
\mathcal{V}=5\times 5\times 5
\mathcal{V}=125\text{ cm}^3
Le volume d'un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) de longueur L, de largeur \ell et de hauteur h est donné par :
\mathcal{V}=L\times \ell\times h
Un pavé droit de longueur 8 cm, de largeur 5 cm et de hauteur 3 cm a un volume égal à :
\mathcal{V}=8\times 5\times 3
\mathcal{V}=120\text{ cm}^3
Le volume d'une pyramide de base d'aire \mathcal{A} et de hauteur h est donné par :
\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}\times h
Une pyramide de base carrée de côté 5 cm et de hauteur 8 cm a un volume égal à :
\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 5\times 5\times 8
\mathcal{V}=\dfrac{200}{3}\text{ cm}^3
\mathcal{V}\approx 67\text{ cm}^3
Le volume d'un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par :
\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \pi\times R^2\times h
Un cône de révolution de rayon 5 cm et de hauteur 8 cm a un volume égal à :
\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 5^2\times 8
\mathcal{V}=\dfrac{200\pi}{3}\text{ cm}^3
\mathcal{V}\approx 209\text{ cm}^3
Le volume d'une boule de rayon R est donné par :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\times \pi\times R^3
Une boule de rayon 5 cm a un volume égal à :
\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\pi\times 5^3
\mathcal{V}=\dfrac{500\pi}{3}\text{ cm}^3
\mathcal{V}\approx 524\text{ cm}^3
L'aire d'une sphère de rayon R est donnée par :
\mathcal{A}=4\pi\times R^2
Une sphère de rayon 5 cm a une aire égale à :
\mathcal{V}=4\pi\times 5^2
\mathcal{V}=100\pi\text{ cm}^3
\mathcal{V}\approx 314\text{ cm}^3
Les conversions d'unités d'aire et de volume
Chaque passage d'une unité d'aire à la précédente ou la suivante nécessite un décalage de virgule de deux rangs.
On utilise le tableau de conversion suivant :
35\,452\,800\text{ cm}^2=3\,545{,}28\text{ m}^2
Chaque passage d'une unité de volume à la précédente ou la suivante nécessite un décalage de virgule de trois rangs.
On utilise le tableau de conversion suivant :
25{,}763\,2\text{ dam}^3=25\,763{,}2\text{ m}^3
La correspondance entre les unités de volume et les unités de contenance
Comme 1 L d'eau occupe un volume de 1 \text{dm}^3, on considère qu'il y a une correspondance entre les unités de volume et les unités de contenance donnée par l'égalité :
1\text{ L}=1\text{ dm}^3
On obtient donc le tableau de correspondance suivant :
25{,}763\,2\text{ dam}^3=257\,632\text{ hL}
Les effets de quelques transformations sur les figures géométriques
Les effets d'un déplacement sur une figure géométrique
Lors de l'application d'une symétrie axiale, symétrie centrale, translation ou rotation à une figure géométrique plane :
- les longueurs sont conservées ;
- les mesures d'angles sont conservées ;
- les aires sont conservées ;
- les proportions sont conservées.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par la rotation de centre A et d'angle 45° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Ces deux figures sont superposables.
Elles ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d'angles et les mêmes aires.
On a, par exemple :
- B'C'=BC
- \widehat{B'F'E'}=\widehat{BFE}
- \text{Aire}\left(\mathcal{F}'\right)=\text{Aire}\left(\mathcal{F}\right)
Lors de l'application d'une symétrie axiale, symétrie centrale, translation ou rotation à un solide de l'espace :
- les longueurs sont conservées ;
- les mesures d'angles sont conservées ;
- les aires sont conservées ;
- les volumes sont conservés ;
- les proportions sont conservées.
Le cube A'B'C'D'E'F'G'H' est l'image du cube ABCDEFGH par la symétrie de centre I.
Les deux solides sont superposables.
En particulier, on a :
- A'B'=AB
- \widehat{B'A'D'}=\widehat{BAD}
- \text{Volume}\left(A'B'C'D'E'F'G'H'\right)=\text{Volume}\left(ABCDEFGH\right)
Les effets d'un agrandissement ou d'une réduction sur une figure géométrique
Lors de l'application d'une homothétie de rapport k à une figure géométrique plane :
- les longueurs sont multipliées par k si k>0 et -k si k<0 ;
- les mesures d'angles sont conservées ;
- les aires sont multipliées par k^2 ;
- les proportions sont conservées.
La figure \mathcal{F}' est l'image de la figure \mathcal{F} par l'homothétie de centre O et de rapport -2.
Alors, on a, par exemple :
- A'B'=2\times AB
- \widehat{G'A'B'}=\widehat{GAB}
- \text{Aire}\left(\mathcal{F}'\right)=4\times \text{Aire}\left(\mathcal{F}\right)
Lors de l'application d'une homothétie de rapport k à un solide de l'espace :
- les longueurs sont multipliées par k si k>0 et -k si k<0 ;
- les mesures d'angles sont conservées ;
- les aires sont multipliées par k^2 ;
- les volumes sont multipliés par k^3 si k>0 et -k^3 si k<0 ;
- les proportions sont conservées.
Le cube A'B'C'D'E'F'G'H' est l'image du cube ABCDEFGH par l'homothétie de centre I et de rapport 3.
On a donc, par exemple :
- A'B'=3\times AB
- \widehat{B'A'D'}=\widehat{BAD}
- \text{Aire}\left(A'B'C'D'\right)=3^2\times \text{Aire}\left(ABCD\right)=9\times \text{Aire}\left(ABCD\right)
- \text{Volume}\left(A'B'C'D'E'F'G'H'\right)=3^3\times \text{Volume}\left(ABCDEFGH\right)=27\times \text{Volume}\left(ABCDEFGH\right)
