M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin.
Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de 15 cm.
Les représentations ci-dessous ne sont pas à l'échelle.
Rappel : le volume d'un prisme est donné par la relation suivante : V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}
Combien mesure la longueur FJ ?
On sait que le quadrilatère EFGH est un rectangle.
Or, dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.
Donc HG = EF = 6 \text{ m}.
Par ailleurs, le point F appartient au segment [EJ].
On en déduit que FJ = EJ - EF = 10 - 6 = 4 \text{ m}.
La longueur FJ mesure 4 m.
Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour.
Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
On va calculer le périmètre du quadrilatère HGJE.
Le quadrilatère EFGH est un rectangle.
Or, dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.
Donc GF = HE = 3 \text{ m}.
Et on sait que FJ = 4 \text{ m}.
Par ailleurs, le triangle GFJ est rectangle en F.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
GJ^2=GF^2+FI^2
D'où :
GJ^2=3^2+4^2=9+16=25
Et par conséquent :
GJ=\sqrt{25}=5 \text{ m}
On peut ensuite en déduire le périmètre du quadrilatère HGJE :
EF + FJ + JG + GH + HE = 6 + 4 + 5 + 6 + 3 = 24 \text{ m}
Il faudra acheter 24 m de planches.
La longueur de planches qu'ils devront acheter au minimum est de 24 m.
M. et Mme Martin souhaitent réaliser 4 m³ de béton.
Quel est le volume de la terrasse ?
La terrasse est représentée par un prisme droit.
La base de ce prisme droit est constituée du rectangle HGFE et du triangle rectangle FJG.
L'aire du rectangle HGFE est égale, en m², à :
HG\times{HE}=6\times3=18
L'aire du triangle rectangle FJG est égale, en m², à :
\dfrac{FJ\times{FG}}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6
On en déduit que l'aire de la base du prisme droit est égale, en m², à :
18 + 6 = 24
Par ailleurs, la hauteur du prisme droit mesure 15 cm, c'est-à-dire 0,15 m.
Par conséquent, le volume de la terrasse est égal, en m³, à :
24\times0{,}15=3{,}6
Le volume de la terrasse mesure 3,6 m³.
Sachant que pour faire 1 m³ de béton, il faut 250 kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser 4 m³ de béton ?
Pour faire 1 m³ de béton, il faut 250 kg de ciment.
Donc pour faire un volume 4 fois plus grand de béton, il faut 4 fois plus de ciment, c'est-à-dire :
4 \times 250 = 1\ 000 \text{ kg}
Ils doivent acheter 1 000 kg de ciment pour réaliser 4 m³ de béton.
Pour faire du béton, on ajoute de l'eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.
Dans ce mélange, les masses de ciment - gravier - sable sont dans le ratio 2 : 7 : 5.
Quelle est (en kg) la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les 4 m³ de béton ?
Pour réaliser 4 m³ de béton, il faut 1 000 kg de ciment.
Par ailleurs, dans le mélange, les masses de ciment - gravier - sable sont dans le ratio 2 : 7 : 5.
On peut simplifier ce ratio ainsi : 1 : 3,5 : 2,5.
Ainsi :
- La masse de gravier est égale à 1\ 000 \times 3{,}5 = 3\ 500 \text{ kg}.
-
La masse de sable est égale à 1\ 000 \times 2{,}5 = 2\ 500 \text{ kg}.
Pour réaliser 4 m³ de béton, 3 500 kg de gravier et 2 500 kg de sable sont nécessaires.
M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.
Voici les documents 1, 2 et 3.
Quels sont le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum ?
On a vu que l'aire de la terrasse est égale à 24 m² .
Passer deux couches revient à peindre 48 m² .
Or, 1 L de peinture permet de réaliser une couche de 5 m².
On en déduit que la quantité de peinture nécessaire pour peindre 48 m² est égale, en L, à :
\dfrac{48}{5}=9{,}6
Deux options se présentent.
Soit on achète deux pots A de 5 L chacun.
Le coût serait alors, en euros, égal à :
79{,}90+\dfrac{79{,}90}{2}=79{,}90+39{,}95=119{,}85
Soit on achète un pot B de 10 L.
Le coût serait alors égal à 129,90 euros.
Or, 119,85 est inférieur à 129,90.
Il est donc moins cher d'acheter deux pots A.
Pour effectuer ces travaux avec un coût minimum, il faut acheter deux pots A.