Primitives
Définition d'une primitive
Primitive d'une fonction continue
On appelle primitive d'une fonction f continue sur un intervalle I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie F'=f.
La recherche d'une primitive est le procédé inverse de la dérivation.
La fonction F:x \longmapsto x^2-7x est une primitive de la fonction f:x \longmapsto 2x-7 sur \mathbb{R}.
En effet, la fonction F est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a F'(x)=f(x).
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Toute fonction continue admet une infinité de primitives.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et x_0 \in I.
Pour tout réel y_0, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x_0)=y_0.
Le calcul de primitives
À partir des fonctions de référence, on peut déduire des primitives de nombreuses autres fonctions en utilisant les opérations algébriques de base.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant des primitives F et G sur I.
Soit k un réel.
Alors :
- La fonction F + G est une primitive sur I de la fonction f + g.
- La fonction kF est une primitive sur I de kf.
Soit une fonction u dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J.
Soit une fonction v dérivable sur l'intervalle J.
Alors la fonction (v' \circ u) \times u' ' admet pour primitive sur I Ia fonction v \circ u.
On cherche à calculer une primitive de la fonction x \longmapsto \dfrac{2x}{x^2+1} sur ]0;+\infty[.
Les équations différentielles
Définition
Équation différentielle
On appelle équation différentielle une égalité reliant une fonction dérivable et sa dérivée.
L'équation y'(x)+3y(x)=5 est une équation différentielle.
L'inconnue est la fonction y.
Cette équation différentielle peut également se noter ainsi :
y'+3y=5
Solution d'une équation différentielle
Soit E une équation différentielle et soit un intervalle I.
On appelle solution de l'équation différentielle E sur I toute fonction dérivable sur I vérifiant l'égalité correspondant à l'équation.
Soit E l'équation différentielle y'=5y .
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que pour tout réel x, f(x)=e^{5x}.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'(x)=5e^{5x}.
Ainsi, pour tout réel x, on a :
f'(x)=5f(x)
La fonction f est donc solution de l'équation différentielle E.
Résolution d'une équation différentielle
Résolution d'une équation différentielle de la forme y' =f
Les solutions d'une équation différentielle de la forme y'=f où f est une fonction continue sur un intervalle I sont les primitives de la fonction f sur I.
Soit E l'équation différentielle y′=\sin x .
La fonction x \longmapsto \sin x est continue sur \mathbb{R}.
Les solutions de E sur \mathbb{R} sont les primitives sur \mathbb{R} de la fonction x \longmapsto \text{sin} x.
Ce sont les fonctions sur \mathbb{R} de la forme x \longmapsto -\cos x +k où k est un réel quelconque.
Résolution d'une équation différentielle de la forme y' = ay
Soit un réel a.
Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y′=ay sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{ax} où k est un réel quelconque.
Soit E l'équation différentielle y′=8y .
Les solutions de E sur \mathbb{R} sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{8x} où k est un réel quelconque.
Soient un réel a et E l'équation différentielle y′=ay .
- Si f et g sont des solutions de E sur \mathbb{R}, alors f+g est une solution de E sur \mathbb{R}.
- Si f est une solution f, alors kf est une solution f quel que soit le réel k.
Résolution d'une équation différentielle de la forme y' = ay+b
Soient a et b deux réels, avec a \neq 0 .
Soit E l'équation différentielle y'=ay+b .
La fonction constante f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-\dfrac{b}{a} est une solution sur \mathbb{R} de l'équation E.
Cette solution est appelée solution particulière constante de E.
Soit E l'équation différentielle y'=3y+4 .
La fonction constante f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-\dfrac{4}{3} est une solution particulière sur \mathbb{R} de l'équation E.
Soient a et b deux réels, avec a \neq 0 .
Soit E l'équation différentielle y'=ay+b .
Les solutions de E sur \mathbb{R} sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{ax}-\dfrac{b}{a} où k est un réel quelconque.
Soit E l'équation différentielle y′=3y+4 .
D'après la propriété précédente, les solutions de E sur \mathbb{R} sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{3x}-\dfrac{4}{3} où k est un réel quelconque.
Résolution d'une équation différentielle de la forme y' = ay+f
Soient un réel a \neq 0 et une fonction f définie sur un intervalle I.
Soit E l'équation différentielle y′=ay+f .
Si une fonction g est une solution sur I de l'équation différentielle E, alors les solutions de E sur I sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{ax}+g(x) où k est un réel quelconque.
Soit E l'équation différentielle y'=-3y+6x+1 .
D'après la propriété précédente, les solutions de E sur x \in \mathbb{R} sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{-3x}+g(x) où k est un réel quelconque et g une solution de l'équation différentielle y'=-3y+6x+1.
La fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=2x-\dfrac{1}{3} est dérivable sur \mathbb{R} et on a, pour tout x \in \mathbb{R}, g'(x)=2 et donc :
g'(x)+3g(x)=2+3\left( 2x-\dfrac{1}{3}\right)=2+6x-1=6x+1
D'où :
g'(x)=-3g(x)+6x+1
Par conséquent, la fonction g est une solution particulière de E sur \mathbb{R}.
On en conclut que les solutions de E sur \mathbb{R} sont les fonctions du type x \longmapsto ke^{-3x}+2x-\dfrac{1}{3} où k est un réel quelconque.
Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a;b]
Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]
Aire sous la courbe
Aire sous la courbe d'une fonction positive
Soit f une fonction continue et positive, définie sur un intervalle [a;b] .
On appelle aire sous la courbe de f sur [a;b] l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, les droites d'équation x=a et x=b .
La fonction f : x \longmapsto 3 \cos(1{,}5x)+3 est continue et positive sur \mathbb{R}, a fortiori sur l'intervalle [3;5].
Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] .
On appelle intégrale de f entre a et b l'aire, en unités d'aire, sous la courbe de f sur [a;b] . On la note :
\int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx
La fonction x \longmapsto 5-x est continue et positive sur ]-\infty;5], a fortiori sur l'intervalle [-2 ; 3].
Dans de nombreux cas, il est impossible de déterminer l'aire sous la courbe d'une fonction continue positive de façon exacte.
On détermine donc uniquement une valeur approchée.
Une méthode simple consiste à découper l'intervalle [a;b] en n sous-intervalles où n un nombre entier supérieur ou égale à 2, puis à approcher l'aire sous la courbe de f sur chacun des sous-intervalles par l'aire d'un rectangle.
La fonction x \longmapsto 0{,}25(x-1)^2 est continue et positive sur \mathbb{R}, a fortiori sur l'intervalle [2 ; 6].
On a alors :
\int_{a}^{b} f(x) \approx \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \Delta x_i où \Delta x_i est la largeur de chacun des rectangles.
Ici, avec n=4 et \Delta x_i =1 on obtient ;
\int_{2}^{6} 0{,}25(x-1)^2 dx \approx \sum_{i=1}^{4} 0{,}25(x_i-1)^2
On calcule ainsi :
\sum_{i=1}^{4} 0{,}25(x_i-1)^2 \\=0{,}25(3-1)^2+0{,}25(4-1)^2+0{,}25(5-1)^2+0{,}25(6-1)^2\\= 0{,}25 (2^2+3^2+4^2+5^2)\\=0{,}25(4+9+16+25)\\=0{,}25 \times 54\\=13{,}5
Lien entre intégrale et primitive
Lien entre intégrale et primitive
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] .
La fonction F_a définie sur [a;b] par :
F_a=\int_{a}^{x} f(t) \ \mathrm dt
est la primitive de f sur [a;b] qui s'annule en a.
On considère la fonction f : x \longmapsto x^2 \ln x.
La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [1;5].
La fonction F définie sur [1;5] par :
F=\int_{1}^{x} t^2 \ln t\ \mathrm dt
est la primitive de f sur [1;5] qui s'annule en 1.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] admettant une primitive F sur [a;b] . On a :
\int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx=F(b)-F(a)
F(b)-F(a) se note \left[ F(x) \right]^b_a.
Intégrale d'une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle [a;b]
Existence de primitives
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Soit F une primitive de f sur I. On appelle intégrale de f entre a et b :
\int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx=F( b)-F(a)
Dans le d'une fonction non positive, on ne peut plus interpréter géométriquement l'intégrale comme l'aire d'un domaine sous une courbe.
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a;b] le nombre défini par :
\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx
La valeur moyenne de la fonction inverse sur [1;5] est égale à :
\mu \\= \dfrac{1}{5-1} \int_{1}^{5} \dfrac{1}x \ \mathrm dx\\=\dfrac{1}{4} \times \left[ \ln x \right]_1^5\\= \dfrac{1}{4}\times(\ln 5 - \ln 1)\\=\dfrac{\ln 5}{4}
Interprétation de la valeur moyenne d'une fonction en terme d'aires
On considère une fonction f sur un intervalle [a;b] et \mu la valeur moyenne de f sur l'intervalle [a;b].
Si f est positive sur [a;b], le rectangle de dimensions \mu et b-a a pour aire :
\int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx
On considère la fonction carrée sur l'intervalle [-2;2].
La fonction carrée est positive sur cet intervalle.
La valeur moyenne de la fonction carrée sur l'intervalle [-2;2] est égale à :
\mu = \dfrac{1}{2-(-2)} \int_{-2}^{2} x^2\ \mathrm dx\\=\dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^2\\=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3} \right)\\=\dfrac{4}{3}
Le rectangle de dimensions \dfrac{4}{3} et 4 a pour aire \int_{-2}^{2} x^2 \ \mathrm dx.
Autrement dit, l'aire du rectangle de dimensions \dfrac{4}{3} et 4 est égale à l'aire du domaine sous la courbe.
Propriétés des intégrales
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I.
Soient a, b et c trois réels de I.
Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées soient continues.
Soient a et b deux réels de l'intervalle I.
Alors on a :
\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \mathrm dx=\left[ u(x)v(x)\right]^b_a-\int_{a}^{b} u(x)v'(x)\ \mathrm dx
L'intégration par parties peut permettre de calculer une intégrale quand il est difficile de trouver une primitive de la fonction à intégrer.