Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace
Vecteurs de l'espace
Définitions et propriétés
Vecteur de l'espace
Un vecteur \overrightarrow{u} de l'espace est défini par :
- Une direction
- Un sens
- Une norme ||\overrightarrow{u}||
D'après la relation de Chasles, pour tous points A, B et C, on a :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace et vecteurs colinéaires
Multiplication d'un vecteur par un nombre
Si k=0 ou \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}, alors k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}.
Combinaison linéaire de vecteurs
Soient \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, ... \overrightarrow{u_n} des vecteurs de l'espace.
On appelle combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, ... \overrightarrow{u_n} toute écriture du type :
\textcolor{Green}{\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}+...+\lambda_n \overrightarrow{u_n}}
où \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n sont des réels quelconques.
Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace.
Le vecteur \overrightarrow{t} est une combinaison linéaire de ces trois vecteurs : \overrightarrow{t}=-3\overrightarrow{u}+8\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}.
Vecteurs colinéaires
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls de l'espace. On dit que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs colinéaires s'il existe un réel k tel que :
\overrightarrow{u}=k\times \overrightarrow{v}
On a :
- \overrightarrow{a}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u} donc les vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
-
\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{u} donc les vecteurs \overrightarrow{b} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
-
\overrightarrow{c}=3 \overrightarrow{a} donc les vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{c} sont colinéaires.
Des vecteurs colinéaires ont la même direction.
Le vecteur nul, noté \overrightarrow{0}, est colinéaire à tout vecteur du plan.
Soient A, B et C trois points de l'espace.
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Soient A, B, C et D quatre points de l'espace.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Droites de l'espace
On considère un point O et un vecteur de l'espace non nul \overrightarrow{u}.
Il existe une unique droite \mathcal{D} contenant le point O et ayant pour direction la direction de \overrightarrow{u}.
Vecteur directeur d'une droite
Soit D une droite de l'espace.
Tout vecteur \overrightarrow{u} ayant la direction de la droite D est appelé vecteur directeur de cette droite.
Les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} et \overrightarrow{z} ont la même direction que la droite D. Ce sont des vecteurs directeurs de la droite D.
Soit \mathcal{D} une droite passant par un point A et de vecteur directeur \overrightarrow{u}.
Un point M de l'espace appartient à la droite \mathcal{D} si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
Autrement dit, un point M de l'espace appartient à la droite \mathcal{D} si, et seulement si, il existe un réel k tel que \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}.
Plans de l'espace
Vecteurs directeurs d'un plan
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls et non colinéaires de l'espace.
Soient (d_1) une droite de vecteur directeur \overrightarrow{u} et (d_2) une droite de vecteur directeur \overrightarrow{v}.
Si un plan P contient les deux droites (d_1) et (d_2), alors on dit que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont des vecteurs directeurs du plan P.
On peut caractériser un plan de trois manières équivalentes, à l'aide de :
- Un point et deux vecteurs non colinéaires ;
- Deux droites sécantes ;
- Trois points non alignés.
Vecteurs coplanaires
Lorsque des vecteurs admettent des représentants qui appartiennent à un même plan, on dit que ces vecteurs sont coplanaires.
Deux vecteurs quelconques de l'espace sont nécessairement coplanaires.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires de l'espace.
Un vecteur \overrightarrow{w} de l'espace est coplanaire avec \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} si, et seulement si, on peut exprimer le vecteur \overrightarrow{w} comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
Tout vecteur de l'espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires.
On considère le cube suivant, ainsi que les trois vecteurs non coplanaires : \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BF} et \overrightarrow{BG}.
- \overrightarrow{BC}=0\times\overrightarrow{BA}+(-1)\times\overrightarrow{BF}+1\times\overrightarrow{BG}
- \overrightarrow{GE}=1\times\overrightarrow{BA}+(1)\times\overrightarrow{BF}+(-1)\times\overrightarrow{BG}
Coordonnées dans l'espace
Coordonnées d'un vecteur
Soit (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace.
Il existe un unique triplet de réels (x,y,z) tels que :
\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}
On appelle ce triplet les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On note : \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}.
Soit (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) une base de l'espace.
- \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr -2 \cr\cr 7 \end{pmatrix} équivaut à \overrightarrow{u}=5\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+7\overrightarrow{k}.
-
\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 1 \cr\cr -4 \end{pmatrix} équivaut à \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}.
Les coordonnées d'un vecteur dépendent de la base dans laquelle on se place.
Si on considère le cube suivant :
- Dans la base (\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BF};\overrightarrow{BC}), on a \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.
-
Dans la base (\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{FB};\overrightarrow{BA}), on a \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Coordonnées d'un point
Soit (A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) un repère de l'espace et soit M un point de l'espace.
Il existe un unique triplet de réels (x,y,z) tels que :
\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}
On appelle ce triplet les coordonnées du point M dans le repère (A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On note : M(x;y;z).
Soit (A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) un repère de l'espace.
- M(-2;3;7) équivaut à \overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+7\overrightarrow{k}.
-
N(6;-1;1) équivaut à \overrightarrow{AN}=6\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}.
Les coordonnées d'un point dépendent du repère dans lequel on se place.
Si on considère le cube suivant :
- Dans le repère (A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}), on a F(1;0;1).
-
Dans le repère (A;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{EA},\overrightarrow{AB}), on a F(0;-1;1)
Soient une base de l'espace et un repère de l'espace associé à cette base.
Soient \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix} x_1 \cr\cr y_1 \cr\cr z_1 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} x_2 \cr\cr y_2 \cr\cr z_2 \end{pmatrix} dans cette base.
Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x_A;y_A;z_A) et (x_B;y_B;z_B) dans ce repère.
Soit \alpha un réel quelconque.
Alors on a les coordonnées suivantes :
Soit \overrightarrow{u} un vecteur de coordonnées \begin{pmatrix} x\cr\cr y\cr\cr z \end{pmatrix}
Alors :
\left\| \overrightarrow{u} \right\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Soient A et B deux points de coordonnées respectives (-2,-1{,}0) et (2{,}4{,}4) dans un repère orthonormé de l'espace.
On a :
AB=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-(-1))^2+(4-0)^2}\\=\sqrt{4^2+5^2+4^2}\\=\sqrt{57}
Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x_A,y_A,z_A) et (x_B,y_B,z_B) dans un repère orthonormé de l'espace.
Alors :
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Soient A et B deux points de coordonnées respectives (-2,-1{,}0) et (2{,}4{,}4) dans un repère orthonormé de l'espace.
On a :
AB=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-(-1))^2+(4-0)^2}\\=\sqrt{4^2+5^2+4^2}\\=\sqrt{57}
Positions relatives dans l'espace
Les positions relatives d'une droite et d'un plan
Soit d une droite définie par un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}. Soit P un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.
La droite d a trois positions possibles par rapport à P :
On considère le cube suivant :
Si une droite et un plan sont sécants, alors un vecteur directeur de cette droite et deux vecteurs directeurs de ce plan forment une base de l'espace.
Le plan P et la droite d sont sécants. Le vecteur \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite d. Les vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont des vecteurs directeurs du plan P.
Le triplet (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}) est une base de l'espace.
Les positions relatives de deux plans
Soient P' et P deux plans de l'espace.
P a trois positions possibles par rapport à P' :
Soient P un plan défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{v_1}.
Soient P' un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{u_2} et \overrightarrow{v_2}.
Les plans P et P' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{u_2} et \overrightarrow{v_2} sont coplanaires.
On considère le cube suivant :
- \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BF} sont des vecteurs directeurs du plan (BCF).
-
\overrightarrow{AD} et \overrightarrow{AE} sont des vecteurs directeurs du plan (ADE).
-
Les vecteurs \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BF}, \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{AE} sont coplanaires.
Donc les plans (BCF) et (ADE) sont parallèles.
Les positions relatives de deux droites
Droites coplanaires
Deux droites de l'espace sont dites coplanaires si elles appartiennent à un même plan.
Soient D une droite définie par un point A et un vecteur \overrightarrow{u}. Soient D' une droite définie par un point B et un vecteur \overrightarrow{v}. Elles ont quatre positions relatives possibles :
On considère le cube suivant :
Dans l'espace, deux droites qui ne sont pas sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.
Ici, les droites d et d' ne sont pas coplanaires. Elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Orthogonalité et distances dans l'espace
Produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace
Définition et propriétés du produit scalaire dans l'espace
Le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace
Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs de l'espace non nuls, et si \alpha est la mesure de l'angle géométrique associé à (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}), alors on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||\times \cos \alpha
Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs de l'espace, alors on a :
- ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=||\overrightarrow{u}||^2+2\times \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+||\overrightarrow{v}||^2
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left( ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 \right)
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left( ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-|| \overrightarrow{v}||^2\right)
Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace et \lambda est un réel quelconque.
Le produit scalaire est :
Les vecteurs orthogonaux dans l'espace
Vecteurs orthogonaux
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace non nuls.
On dit que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si leurs directions sont orthogonales, autrement dit si les droites dirigées par ces vecteurs sont perpendiculaires.
Les droites D et D' sont respectivement dirigées par les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
Les droites D et D' sont perpendiculaires. Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.
Le produit scalaire dans un repère orthonormé
Soit (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) une base orthonormée. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \cr\cr z' \end{pmatrix} dans la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}). On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Soit (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) une base orthonormée. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix} 5 \cr\cr -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} dans la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}). On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=5\times(-3)+(-1)\times1+2\times1
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-15-1+2
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-14
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0
Dans l'exemple précédent, on a \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\neq 0. Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.
L'orthogonalité dans l'espace
L'orthogonalité de deux droites
Orthogonalité de deux droites
Deux droites D et D' de l'espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Le vecteur \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite d_1 et le vecteur \overrightarrow{v} est un vecteur directeur de la droite d_2.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux. Ainsi, les droites d_1 et d_2 sont orthogonales.
Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes. Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.
Les droites d_3 et d_2 sont perpendiculaires. Elles sont sécantes.
Les droites d_1 et d_2 sont orthogonales. Elles ne sont pas sécantes.
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Soient A un point de l'espace et d une droite de l'espace.
On appelle projeté orthogonal du point A sur la droite d :
- Le point A si A\in d.
- Le point H de la droite d tel que les droites \left( AH \right) et d sont perpendiculaires.
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite d.
Distance d'un point à une droite
Soient D une droite de l'espace et A un point.
La distance du point A à la droite D est la plus petite des longueurs AM où M \in D.
On note d(A,D) la distance du point A à la droite D.
Soient D une droite de l'espace et A un point.
Si on note H le projeté orthogonal du point A sur la droite D, alors on a d(A,D)=AH.
Autrement dit, le projeté orthogonal du point A sur la droite D est le point de D le plus proche de A.
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite D.
Les points M et N sont deux points de la droite D.
La distance du point A à la droite D est : d(A,D)=AH.
On a :
- AH \leqslant AM
- AH \leqslant AN
L'orthogonalité d'une droite et d'un plan
Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal à un plan P est un vecteur non nul \overrightarrow{n} dont la direction est orthogonale au plan.
Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P.
Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Une droite D et un plan P sont dits orthogonaux si tout vecteur directeur de D est un vecteur normal du plan D.
La droite (d) est orthogonale au plan P.
Les vecteurs \overrightarrow{n}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont des vecteurs directeurs de la droite (d).
Ce sont également des vecteurs normaux au plan P.
Projeté orthogonal d'un point sur un plan
Soient A un point de l'espace et P un plan de l'espace. On appelle projeté orthogonal du point A sur le plan P :
- Le point A si A\in P.
- Le point H du plan P tel que \overrightarrow{AH} soit un vecteur normal au plan P.
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan P.
Distance d'un point à un plan
Soient P un plan de l'espace et A un point.
La distance du point A au plan P est la plus petite des longueurs AM où M \in P.
On note d(A,P) la distance du point A au plan P.
Soient P un plan de l'espace et A un point.
Si on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan P, alors on a d(A,P)=AH.
Autrement dit, le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point de P le plus proche de A.
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan P.
Les points M et N sont deux points du plan P.
La distance du point A au plan P est : d(A,P)=AH.
On a :
- AH \leqslant AM
- AH \leqslant AN
Soient P un plan de l'espace, A et B deux points appartenant au plan P et C un point de l'espace.
Soit H le projeté orthogonal du point C sur le plan P.
Alors on a : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}.
Soient P un plan de l'espace, \overrightarrow{n} un vecteur normal au plan P et M un point appartenant au plan P.
Alors, pour tout point A de l'espace, on a :
d(A,P)=\dfrac{||\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}||}{||\overrightarrow{n}||}
Soit P un plan de l'espace, de vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soit M(1;-1;4) point appartenant au plan P.
Soit A(2;0;7) un point de l'espace.
On a : \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 1-2 \cr\cr -1-0 \cr\cr 4-7 \end{pmatrix} et donc \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -1 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
D'où :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}\\=-1 \times 2 + (-1) \times (-3)+(-3) \times 1\\=-2+3-3\\=-2
Par ailleurs :
||\overrightarrow{n}||=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}
Et finalement :
d(A,P)=\dfrac{||-2||}{\sqrt{14}} =\dfrac{2}{\sqrt{14}}
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
La droite passant par le point A de coordonnées (\textcolor{Red}{x_A},\textcolor{Red}{y_A},\textcolor{Red}{z_A}) et de vecteur directeur \overrightarrow{u} de coordonnées \begin{pmatrix} \textcolor{Green}{\text{a}} \cr\cr \textcolor{Green}{\text{b}} \cr\cr \textcolor{Green}{\text{c}} \end{pmatrix} est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que :
\begin{cases} x=\textcolor{Red}{x_A}+\textcolor{Green}{a}t \cr \cr y=\textcolor{Red}{y_A}+\textcolor{Green}{b}t \cr \cr z=\textcolor{Red}{z_A}+\textcolor{Green}{c}t \end{cases}
Le système d'équations précédent est appelé représentation paramétrique de la droite d dans le repère considéré.
La droite passant par le point A de coordonnées (\textcolor{Red}{-1},\textcolor{Red}{2},\textcolor{Red}{-5}) et de vecteur directeur \overrightarrow{u} de coordonnées \begin{pmatrix} \textcolor{Green}{\text{3}} \cr\cr \textcolor{Green}{\text{-4}} \cr\cr \textcolor{Green}{\text{-1}} \end{pmatrix} a pour représentation paramétrique :
\begin{cases} x=\textcolor{Red}{-1}+\textcolor{Green}{3}t \cr \cr y=\textcolor{Red}{2}\textcolor{Green}{-4}t \cr \cr z=\textcolor{Red}{-5}\textcolor{Green}{-}t \end{cases}
Le système d'équations précédent est appelé représentation paramétrique de la droite d dans le repère considéré.
Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques. On peut changer un vecteur directeur d'une droite par un autre vecteur directeur.
Voici deux représentations paramétriques dans un même repère donné de la droite passant par le point M(-1;4;4) et de vecteur directeur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr2 \end{pmatrix} :
-
\begin{cases} x=\textcolor{Red}{-1}+\textcolor{Green}{2}t \cr \cr y=\textcolor{Red}{4}+\textcolor{Green}{3}t \cr \cr z=\textcolor{Red}{4}+\textcolor{Green}{2}t \end{cases}
-
\begin{cases} x=\textcolor{Red}{-1}+\textcolor{Green}{4}t \cr \cr y=\textcolor{Red}{4}+\textcolor{Green}{6}t \cr \cr z=\textcolor{Red}{4}+\textcolor{Green}{4}t \end{cases}
Équation cartésienne d'un plan dans l'espace
Si le plan P a pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{a} \cr\cr \textcolor{Red}{b}\cr\cr \textcolor{Red}{c} \end{pmatrix} alors il admet une équation cartésienne du type :
\textcolor{Red}{a}x+\textcolor{Red}{b}y+\textcolor{Red}{c}z+d=0
Où d est un nombre réel.
Le plan P qui a pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{2} \cr\cr \textcolor{Red}{-1}\cr\cr \textcolor{Red}{3} \end{pmatrix} alors il admet pour équation cartésienne :
\textcolor{Red}{2}x\textcolor{Red}{-}y+\textcolor{Red}{3}z+d=0
Où d est un nombre réel.
En pratique, pour déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un vecteur normal, on calcule la valeur du nombre d en utilisant l'appartenance d'un point au plan P.
On veut déterminer une équation cartésienne du plan P sachant que :
- Le point A(4;1;1) appartient au plan P.
- Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -6 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan P.
Comme le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -6 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan P, le plan P admet une équation cartésienne de la forme \textcolor{Red}{2}x+\textcolor{Red}{3}y\textcolor{Red}{-6}z+d=0.
Le point A(4;1;1) appartient au plan P, donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan. On a ainsi :
\textcolor{Red}{2}\times4+\textcolor{Red}{3}\times1\textcolor{Red}{-6}\times1+d=0
Soit :
d=-5
Ainsi, l'équation cartésienne du plan P est :
\textcolor{Red}{2}x+\textcolor{Red}{3}y\textcolor{Red}{-6}z-5=0
Les systèmes de deux équations d'une droite
On peut définir une droite comme l'intersection de deux plans, donc on peut caractériser l'appartenance d'un point à une droite avec un système de deux équations cartésiennes.
Soient P et P' deux plans d'équations cartésiennes respectives ax+by+cz+d=0 et a'x+b'y+c'z+d'=0 tels que les vecteurs normaux respectifs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} a' \cr\cr b' \cr\cr c' \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
L'ensemble des points M(x;y;z) de l'espace tels que : \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \cr \cr a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases} est la droite (d), intersection des plans P et P'.
Soient le plan P d'équation cartésienne \textcolor{Red}{2}x+\textcolor{Red}{2}y\textcolor{Red}{-}z+5=0 et le plan P' d'équation cartésienne \textcolor{Red}{3}x+\textcolor{Red}{2}y\textcolor{Red}{+}z+1=0.
Les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{2} \cr\cr \textcolor{Red}{2}\cr\cr \textcolor{Red}{-1} \end{pmatrix} et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{3} \cr\cr \textcolor{Red}{2}\cr\cr \textcolor{Red}{1} \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires, donc les plans P et P' sont sécants.
La droite intersection des deux plans est représentée par le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{2}x+\textcolor{Red}{2}y\textcolor{Red}{-}z+5=0 \cr \cr \textcolor{Red}{3}x+\textcolor{Red}{2}y\textcolor{Red}{+}z+1=0 \end{cases}