Majorant et maximum d'une fonction sur IR - 1S - Exercice Mathématiques - Kartable

On considère la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par :

f\left(x\right)=2-\dfrac{1}{x}

Quelle proposition montre que f est majorée sur \left]0;+\infty\right[ ?

Pour tout x \gt 0, on sait que \dfrac{1}{x} \gt 0 et donc -\dfrac{1}{x} \lt 0

Par conséquent pour tout x \gt 0, 2-\dfrac{1}{x} \lt 2 ou bien encore f\left(x\right) \lt 2.

Ainsi pour tout x \gt 0, la fonction f est majorée par 2.

Pour tout x \gt 0, on sait que \dfrac{1}{x} \gt 0

Par conséquent pour tout x \gt 0, 2-\dfrac{1}{x} \gt 2 ou bien encore f\left(x\right) \gt 2.

Ainsi pour tout x \gt 0, la fonction f est minorée par 2.

Pour tout x \gt 0, on sait que \dfrac{1}{x} \gt 0 et donc -\dfrac{1}{x} \lt 0

Par conséquent pour tout x \gt 0, 2-\dfrac{1}{x} \lt 0 ou bien encore f\left(x\right) \lt 0.

Ainsi pour tout x \gt 0, la fonction f est majorée par 0.

Quelle proposition montre que 2 n'est pas un maximum pour f sur \left]0;+\infty\right[ ?

On sait que 2 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=2 qui est équivalent à 2-\dfrac{1}{x}=2 ou bien encore -\dfrac{1}{x}=0.

Or cette équation n'admet pas de solution, donc le maximum n'est pas atteint.

On sait que 2 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=0 qui est équivalent à 2-\dfrac{1}{x}=0 ou bien encore -\dfrac{1}{x}=-2.

La solution de cette équation est x=\dfrac{1}{2}.

Le maximum existe donc et il est atteint pour x=\dfrac{1}{2}.

On sait que 2 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=2 qui est équivalent à 2-\dfrac{1}{x}=2 ou bien encore -\dfrac{1}{x}=4.

La solution de cette équation est x=-\dfrac{1}{4}.

Le maximum existe donc et il est atteint pour x=-\dfrac{1}{4}.