Majorant et maximum d'une fonction sur IR Exercice

Pour tout x de \mathbb{R}, -2x^4 \leqslant0 alors -2x^4 +5\leqslant5 soit encore f\left(x\right)\leqslant5 et la fonction f est majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence f\left(x\right)-5, on trouve alors 2x^4\geqslant 0 pour tout x de \mathbb{R}, et donc f\left(x\right)-5 \leqslant 0. Ainsi f\left(x\right)\leqslant5

La fonction f est bien majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence 5-f\left(x\right), on trouve alors -2x^4 \leqslant 0 pour tout x de \mathbb{R}, et donc f\left(x\right)-5 \leqslant 0. Ainsi f\left(x\right)\leqslant5

La fonction f est bien majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 et on trouve x=0.

Donc la fonction f admet pour maximum 5 et ce maximum est atteint pour x=0.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 et l'équation n'admet pas de solution.

Donc la fonction f n'admet pas pour maximum 5.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 ce qui revient à résoudre 2x^4=10 soit x^4=5 soit x=\sqrt[4]{5} ou x=-\sqrt[4]{5}.

Donc la fonction f admet pour maximum 5 et ce maximum est atteint pour x=\sqrt[4]{5} ou x=-\sqrt[4]{5}.