Majorant et maximum d'une fonction sur IR Exercice

Pour tout x de \mathbb{R}, -4x^2\left( x-3 \right)^{2}\leqslant 0 alors 5-4x^2\left( x-3 \right)^{2}\leqslant 5 soit encore f\left(x\right)\leqslant 5 et la fonction f est majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence f\left(x\right)-5, on trouve alors 4x^2\left( x-3 \right)^{2}\geqslant 0, pour tout x de \mathbb{R}, et donc f\left(x\right)\leqslant 5. La fonction f est bien majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence 5-f\left(x\right), on trouve alors -4x^2\left( x-3 \right)^{2}\leqslant 0, pour tout x de \mathbb{R}, et donc f\left(x\right)\leqslant 5. La fonction f est bien majorée par 5 pour tout x de \mathbb{R}.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 et on trouve x=0 ou x=3.

Donc la fonction f admet pour maximum 5 et ce maximum est atteint pour x=0 ou x=3.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 et on trouve x=0.

Donc la fonction f admet pour maximum 5 et ce maximum est atteint pour x=0.

On sait que 5 est un majorant de f. Reste à vérifier que c'est un maximum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=5 et on trouve x=3.

Donc la fonction f admet pour maximum 5 et ce maximum est atteint pour x=3.