Les ensembles de nombres
Il existe plusieurs ensembles de nombres intéressants : les nombres décimaux qui ont une partie décimale finie, les nombres rationnels qui s'écrivent comme une fraction et les nombres réels. Les nombres réels forment une droite appelée droite des réels. Chaque réel est placé de manière unique sur cette droite. Une portion de cette droite est un ensemble appelé intervalle réel.
Les nombres décimaux
La définition et la notation des nombres décimaux
Les nombres décimaux représentent les nombres qui sont le plus accessibles à l'intuition, et qui se traitent « facilement » à l'ordinateur (si la partie décimale n'est pas trop grande).
Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Les nombres suivants sont des nombres décimaux :
- 3
- 1{,}32
- 0{,}577215
- 3{,}1415926
- -0{,}6931
On appelle les chiffres après la virgule la partie décimale. Les nombres décimaux sont donc les nombres dont la partie décimale est finie.
Le nombre \frac{1}{3} n'est pas décimal, puisqu'il s'écrit 0{,}3333... avec une infinité de nombres après la virgule. Sa partie décimale n'est donc pas finie. Une démonstration est donnée un peu plus bas dans le cours.
Si l'on multiplie un certain nombre de fois un nombre décimal par 10, on finit par obtenir un nombre entier.
Si l'on multiplie 1{,}32 par 100 = 10 \times 10, on obtient 132 = 100 \times 1{,}32.
On a ainsi une autre caractérisation des nombres décimaux.
Nombre décimal
Un nombre x est un nombre décimal si et seulement s'il existe un entier relatif k et un entier naturel p tels que :
x = \frac{k}{10^p}
On retrouve bien que 1{,}32 est décimal, puisque :
1{,}32 = \frac{132}{10^2}
Autrement dit, on a k = 132 qui est un entier relatif, et p=2.
Le nombre -0{,}6931 est bien décimal, puisque :
-0{,}6931 = \frac{-\text{6 931}}{10^4}
Autrement dit, on a k = -\text{6 931} qui est un entier relatif et p=4.
On note \mathbb{D} l'ensemble des nombres entiers décimaux.
Maintenant que l'on a une caractérisation des nombres décimaux, on peut donner la preuve que \frac{1}{3} ne fait pas partie de l'ensemble des nombres décimaux.
La démonstration repose sur le raisonnement par l'absurde. On va supposer que \frac{1}{3} est un nombre décimal, puis conclure que ce n'est pas possible en arrivant à une contradiction mathématique.
Supposons qu'il existe k un nombre entier relatif et p un nombre entier, tels que :
\frac{1}{3} = \frac{k}{10^p}
Alors, on peut réécrire l'équation par :
10^p = 3 \times k
Mais cette équation ne peut être vérifiée pour aucun couple (p,k), puisque 10^p n'est pas divisible par 3.
Ainsi, il est impossible de trouver une écriture décimale de \frac{1}{3}.
Les propriétés des nombres décimaux
L'addition, la soustraction et la multiplication de deux nombres décimaux est encore un nombre décimal.
1{,}32 - 0{,}48 =0{,}84 est un nombre décimal.
4{,}4183 \times 0{,}0236 = 0{,}104272 est un nombre décimal.
Le quotient de deux nombres décimaux n'est en général pas un nombre décimal.
\frac{0{,}5}{0{,}3} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{5}{3} = 1{,}6666666\ldots n'est pas un nombre décimal.
Les nombres rationnels
Puisque le quotient de deux nombres décimaux n'est pas (en général) un nombre décimal, il faut trouver un ensemble de nombres tel que le quotient de deux nombres de cet ensemble soit encore dans cet ensemble. L'ensemble des nombres rationnels répond à cette condition.
La définition et la notation des nombres rationnels
Nombre rationnel
Un nombre x est un nombre rationnel si et seulement s'il existe deux entiers relatifs p et q \not = 0 tels que :
x = \frac{p}{q}
\frac{1}{3} est un nombre rationnel car c'est une fraction de deux entiers relatifs, 1 et 3.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels.
Les nombres décimaux s'écrivent effectivement comme le quotient d'un nombre entier relatif avec une puissance de 10, donc comme un quotient de deux nombres entiers relatifs.
L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb{Q}.
Puisque tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels, cela revient à énoncer que l'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels. Autrement dit :
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}
Les propriétés des nombres rationnels
L'addition, la soustraction, la multiplication et la division de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{6 - 15}{18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2} est un nombre rationnel.
\frac{\frac{3}{-8}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{-8} \times \frac{16}{7} = \frac{3}{-1} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{-7} est un nombre rationnel.
Attention pour la division : ne jamais diviser par 0.
Les nombres réels
Il existe des nombres, qui ne sont pas rationnels, appelés irrationnels. En formant l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels, on obtient l'ensemble des nombres réels.
Les nombres non rationnels
Plusieurs exemples de nombres non rationnels sont donnés par la géométrie.
Soit ABC un triangle rectangle, dont AB = AC = 1. Alors l'hypoténuse est de longueur irrationnelle.
D'après le théorème de Pythagore, l'hypoténuse d'un tel triangle vaut \sqrt{2}.
Voici le raisonnement qui montre que \sqrt{2} ne peut pas être un nombre rationnel.
La démonstration repose sur un raisonnement par l'absurde. On suppose que \sqrt{2} est rationnel et on va montrer que cela aboutit à une contradiction.
Supposons que \sqrt{2} est rationnel. Alors, par définition, il existe p et q deux entiers relatifs tels que \sqrt{2} = \frac{p}{q}. On peut supposer que p et q sont positifs, puisque \sqrt{2} est positif. Donc on suppose que p et q sont des entiers naturels.
En élevant cette égalité au carré, on obtient alors :
2 = \frac{p^2}{q^2}
Autrement dit :
2\times q^2 = p^2
On va montrer qu'aucun couple d'entiers naturels (p,q) ne peut satisfaire cette équation. Pour cela, on part d'un couple (p,q) qui satisfait cette équation, et on va trouver un autre couple d'entiers naturels (p',q') qui satisfait aussi cette équation mais qui est plus petit, c'est-à-dire p' < p et q' < q. Cela est absurde car ce sont des couples entiers positifs et, nécessairement, en continuant le procédé, on trouverait p ou q qui vaudrait 0.
De l'équation suivante :
2 \times q^2 = p^2
On en déduit que p^2 est un nombre relatif pair. Il faut maintenant montrer que p est un nombre relatif pair. On commence par remarquer que p est soit pair, soit impair. Si p était impair, c'est-à-dire s'il existe k \in \mathbb{Z} tel que p = 2k+1, alors on aurait :
p^2 = (2k)^2 + 2 \times 2k \times 1 + 1^2= 4k^2 + 4k + 1 = 2k(2k + 2) + 1
Donc p^2 serait impair aussi puisque p^2 s'écrit 2k' + 1. Donc p ne peut pas être impair. La seule possibilité restante est donc que p soit pair.
Puisque p est pair, alors p^2 est divisible par 4. Donc finalement, \frac{p^2}{2} est divisible par 2, donc q^2 = \frac{p^2}{2} est pair.
Par le même raisonnement que celui mené plus haut, on obtient alors que q est un nombre relatif pair.
Finalement, on vient de montrer que p et q sont pairs. Mais alors, la fraction :
\sqrt{2} = \frac{p}{q}
peut se simplifier en divisant par 2 au numérateur et au dénominateur, puisque p et q sont pairs. Il existe donc p' et q' deux nombres relatifs tels que :
\sqrt{2} = \frac{p'}{q'}
avec p' < p et q' < q (en effet, p' = \frac{p}{2} et q'= \frac{q}{2}).
On a donc bien montré l'existence d'un couple (p', q') où p' et q' sont strictement plus petits que p et q, tels que \sqrt{2} = \frac{p'}{q'}. Ce qui est absurde, d'après ce qui a été vu plus haut. Ainsi, \sqrt{2} n'est pas un nombre rationnel.
Le nombre \pi est aussi un nombre irrationnel.
Définition des nombres réels
Nombres réels
On définit l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels comme l'ensemble des nombres réels.
L'ensemble des nombres réels est noté \mathbb{R}.
Droite réelle
Tout nombre réel peut être comparé. Si x et y sont des nombres réels, alors soit x \leq y, soit y \leq x. Ainsi, on peut tracer la droite des réels qui représente les nombres du plus petit au plus grand dans le sens de lecture :
Les intervalles réels
Intervalle réel
On appelle intervalle réel un ensemble de nombre compris entre deux nombres réels a et b. On dira que a et b sont les bornes de l'intervalle.
On note :
- [a ; b] l'ensemble des nombres x tel que a \leq x \leq b. Cet intervalle est dit fermé.
- ]a ; b] l'ensemble des nombres x tel que a < x \leq b.
- [a ; b[ l'ensemble des nombres x tel que a \leq x < b.
- ]a ; b[ l'ensemble des nombres x tel que a < x < b. Cet intervalle est dit ouvert.
Avec a < b.
L'intervalle ]3; 9] désigne l'ensemble des nombres réels qui sont strictement plus grands que 3 et plus petits ou égaux à 9.
Pour désigner des ensembles de nombres qui sont plus grands que a ou égaux à a, on utilise la notation [a , +\infty[. On note ainsi :
- [a ; +\infty[ l'ensemble de nombres x tel que a \leq x
- ]a ; +\infty[ l'ensemble de nombres x tel que a < x
- ]-\infty ; b] l'ensemble de nombres x tel que x \leq b
- ]-\infty ; b[ l'ensemble de nombres x tel que x < b
L'intervalle est toujours ouvert en plus ou moins l'infini. Les notations [-\infty, \ldots et \ldots, +\infty] n'existent pas.
Le nombre \sqrt{2} :
- n'appartient pas à l'intervalle ]-\infty ; 1[ car \sqrt{2} >1 ;
- appartient à l'intervalle ]0 ;2[ car 0 < \sqrt{2} < 2 ;
- n'appartient pas à l'intervalle [0 ; \sqrt{2}[ car \sqrt{2} est exclus de cet intervalle.
L'union et l'intersection d'intervalles
Intersection d'intervalles
Soient I et J deux intervalles. Alors, on note I \cap J l'ensemble des nombres qui appartiennent à I et à J. On parle d'intersection d'intervalles, c'est l'intersection des intervalles I et J
Si I = ]2 ; 4[ et J= [3 ; 5[, alors I \cap J = [3 ; 4[.
Une intersection peut parfois être vide. Par exemple, ]-1 ; 0[ \cap [1; 2] est un ensemble qui ne contient rien. On notera alors ]-1; 0[ \cap [1 ; 2]= \emptyset, où \emptyset désigne l'ensemble vide.
Union d'intervalles
Soient I et J deux intervalles. Alors, on note I \cup J l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J. On parle d'union d'intervalles, c'est l'union des intervalles I et J.
Si I = ]2 ; 4[ et J= [3 ; 5[, alors I \cup J = ]2 ;5[.
Une union peut parfois ne pas être un intervalle. Par exemple, on ne peut écrire plus simplement l'ensemble [1; 2[ \cup [4 ; 5].
Les liens entre valeur absolue, distance et intervalle
Pour deux nombres réels donnés, on peut associer une notion de distance entre eux. Cette distance est exprimée grâce à la valeur absolue. Grâce à cette distance, on peut donner un sens précis à l'approximation d'un nombre réel par un nombre décimal à 10^{-n} près, où n est un entier naturel.
La distance et la valeur absolue
La distance entre deux nombres réels
Distance entre deux nombres réels
Soient a et b deux nombres réels. On appelle distance entre deux nombres réels a à b, notée d(a,b), la distance entre les abscisses des points représentant a et b sur la droite des réels. Elle se calcule en faisant la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres.
La distance d(a,b) est la même que d(b, a).
La distance entre 2 et 5 est d(2, 5) = 5 - 2 = 3.
La valeur absolue
La valeur absolue fournit un moyen pratique pour donner une formule de la distance entre deux nombres réels.
Valeur absolue d'un nombre réel
La valeur absolue d'un réel x est la distance entre x et 0. On note |x| cette valeur.
|-5| est la distance entre -5 et 0. Donc |-5| = 5.
La valeur absolue d'un nombre réel est toujours positive.
Soit x un nombre réel. Alors :
|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x \leq 0 \end{cases}
On retrouve bien |-5| = -(-5) car -5 est négatif, |-5| = 5.
Soient a et b deux réels. Alors d(a,b) = | b - a |.
Intervalle et valeur absolue
On peut décrire les intervalles réels à l'aide de la valeur absolue.
Caractérisation des intervalles centrés
Soient a et r deux nombres réels. Voici à quoi ressemble l'intervalle [a -r ; a + r] :
Si on prend a= 3 et r = 2, on obtient l'intervalle [1; 5].
Il faut comprendre a comme le centre de l'intervalle et r comme le « rayon » de l'intervalle.
Soient a et r deux nombres réels, alors :
x \in [ a - r; a + r] \text{ si et seulement si } | x - a | \leq r
Lorsque le nombre réel r est positif, on peut interpréter l'intervalle [a -r; a+r] comme l'ensemble des nombres x qui sont à une distance de a inférieure ou égale au nombre réel r. En effet, on rappelle que | x - a | = d(x, a) d'après la proposition donnée plus haut.
Autrement dit, pour r > 0 :
x \in [a - r ; a + r] \text{ si et seulement si } d(x, a) \leq r
Encadrement des nombres réels par des nombres décimaux
Approximation à 10^{-n} près
Soit x un nombre réel. Soit a un nombre décimal. On dit que a est une approximation de x à 10^{-n} près si et seulement si :
| x - a | \leq 10^{-n}
3{,}14 est une approximation à 10^{-2} près de \pi puisque :
| \pi - 3{,}14 | \leq 10^{-2}
Mais 3{,}139 est aussi une approximation à 10^{-2} près de \pi. En effet :
| \pi - 3{,}139 | = 0{,}00259\ldots \leq 10^{-2}
Le nombre n de la proposition précédente correspond au nombre de décimales justes moins 1. Ainsi, une approximation a à 10^{-3} de \pi garantit que a contient 2 décimales (et non 3) justes de \pi.
D'après la proposition précédente, | \pi - 3{,}14 | \leq 10^{-2} revient à écrire \pi \in [3{,}14 - 10^{-2} ; 3{,}14 + 10^{-2}].
Autrement dit, \pi \in [3{,}13 ; 3{,}15].
Algorithme de balayage : déterminer les décimales de \sqrt{2}
On peut essayer d'écrire un algorithme qui détermine l'approximation du réel \sqrt{2} à 10^n par balayage.
On peut commencer par un premier encadrement de \sqrt{2} à l'unité près. En effet, on sait que :
\sqrt{2} \in [1, 2] puisque 1^2 = 1< 2 et 2^2 = 4 > 2
On sait donc que :
|\sqrt{2} - 1| \leq 10^0 = 1
Pour trouver le premier chiffre après la virgule, on peut essayer les 10 nombres décimaux qui ont une partie décimale d'un seul chiffre et d'unité 1.
Pour chacun de ces nombres, il s'agit de calculer leur image par la fonction x \mapsto x^2 - 2. On obtient le tableau suivant :
| x | x^2 - 2 |
| 1,0 | -1,0 |
| 1,1 | -0,79 |
| 1,2 | -0,56 |
| 1,3 | -0,31 |
| 1,4 | -0,04 |
| 1,5 | 0,25 |
| 1,6 | 0,56 |
| 1,7 | 0,89 |
| 1,8 | 1,24 |
| 1,9 | 1,61 |
On observe un changement de signe autour entre 1{,}4 et 1{,}5, c'est donc que \sqrt{2} \in [1{,}4 ; 1{,}5]. On obtient ainsi une approximation de \sqrt{2} à 10^{-1} puisque | \sqrt{2} - 1{,}4 | \leq 10^{-1}.
Pour déterminer le deuxième chiffre après la virgule, on peut continuer avec le tableau suivant :
| x | x^2-2 |
| 1,40 | -0,04 |
| 1,41 | -0,0119 |
| 1,42 | 0,0164 |
| 1,43 | 0,0449 |
| 1,44 | 0,0736 |
| 1,45 | 0,1025 |
| 1,46 | 0,1316 |
| 1,47 | 0,1609 |
| 1,48 | 0,1904 |
| 1,49 | 0,2201 |
On constate le changement de signe entre 1{,}41 et 1{,}42, donc \sqrt{2} \in [1{,}41 ; 1{,}42], et on obtient une approximation de \sqrt{2} à 10^{-2} près avec 1{,}41 puisque |\sqrt{2} - 1{,}41| \leq 10^{-2}.
On peut continuer l'algorithme jusqu'à ce que l'on obtienne une approximation de \sqrt{2} à 10^{-n} près, avec n un nombre donné à l'avance.
La précision d'un ordinateur ou d'une calculatrice n'étant pas infinie, il est très probable qu'il faille utiliser des logiciels spécialisés pour obtenir une approximation de \sqrt{2} à 10^{-n} près dès que n est plus grand que 15. En effet, la précision par défaut d'un programme sur ordinateur ou d'une calculatrice est de l'ordre de 10^{-15}.