Sommaire
ILa résolution algébrique d'inéquationsALe signe de ax + bBLes tableaux de signesIILa résolution graphique d'inéquationsAf\left(x\right) \gt aBf\left(x\right) \gt g\left(x\right)CLe signe d'une fonctionLa résolution algébrique d'inéquations
Le signe de ax + b
Signe de ax+b
Soient a et b deux réels, avec a non nul.
Le signe de ax + b sur \mathbb{R} dépend du signe de a :
- si a \gt 0, ax + b est strictement négatif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement positif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[ ;
- si a \lt 0, ax + b est strictement positif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement négatif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[.
L'expression 3x-12 est négative sur \left] -\infty;4 \right] et positive sur \left[ 4;+\infty \right[.
L'expression -2x-18 est positive sur \left] -\infty;-9 \right] et négative sur \left[ -9;+\infty \right[.
On peut représenter le signe d'une expression à l'aide d'un tableau de signes :
- Un signe + signifie que l'expression est positive sur cet intervalle.
- Un signe - signifie que l'expression est négative sur cet intervalle.
Si a \gt 0
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Le tableau de signes de 3x-12 est :
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Si a \lt 0
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Le tableau de signes de -2x-18 est :
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Les tableaux de signes
On résout une inéquation ne pouvant se ramener à une inéquation du premier degré en passant tous les termes dans un membre, puis en factorisant (ou réduisant au même dénominateur) de manière à obtenir un produit (ou un quotient) dont on connaît le signe de chacun des facteurs.
Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d'une expression.
On détermine le signe d'un produit de facteurs ou d'un quotient à l'aide d'un tableau de signes, où chaque ligne détaille le signe d'un des facteurs. Le signe de l'expression globale se déduit colonne par colonne :
- Si le nombre de signes - d'une colonne est pair, l'expression globale est positive sur l'intervalle correspondant.
- Si le nombre de signes - d'une colonne est impair, l'expression globale est négative sur l'intervalle correspondant.
On se propose de résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation suivante :
\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2
Pour tout réel x :
\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2
\Leftrightarrow\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0
En reconnaissant l'identité remarquable a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right), valable pour tous les réels a et b :
\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0
\Leftrightarrow\left[ \left(3x-12\right)+\left(-2x+7\right) \right]\times\left[ \left(3x-12\right)-\left(-2x+7\right) \right]\leq0
\Leftrightarrow\left(3x-12-2x+7\right)\left(3x-12+2x-7\right)\leq0
\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(5x-19\right)\leq0
Pour déterminer les solutions, on réalise un tableau de signes du produit.
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L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : S=\left[ \dfrac{19}{5};5 \right].
La résolution graphique d'inéquations
f\left(x\right) \gt a
Solutions de f\left(x\right)\gt a
Soient une fonction f et un réel a.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a sont les abscisses des éventuels points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est strictement supérieure à a.
On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a en relevant les abscisses (par intervalles) des points de la courbe représentative de f qui sont situés au-dessus de la droite d'équation y = a.
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L'inéquation f\left(x\right) \gt 2 admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2,13[.
De manière analogue, les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \lt a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui sont situés en dessous de la droite d'équation y = a. Les solutions sont données sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
f\left(x\right) \gt g\left(x\right)
Solutions de f\left(x\right)\gt g\left(x\right)
Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus du point de même abscisse de la courbe représentative de g.
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L'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2[.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
La fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}, est positive sur \mathbb{R}. En effet, le carré d'un réel est toujours positif, quel que soit le réel.
Une fonction est positive sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.
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La courbe représentative de la fonction est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc positive sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq 0
La fonction f\left(x\right)=-x^2 définie sur \mathbb{R}, est négative sur \mathbb{R}. En effet, l'opposé du carré d'un réel est toujours négatif, quel que soit le réel.
Une fonction est négative sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.
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La courbe représentative de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc négative sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].