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  4. Cours : La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien Cours

Sommaire

ILes propriétés caractéristiques du logarithme népérienALa caractérisationBLe signeCLes propriétés algébriquesIIÉtude du logarithme népérienALes limitesBLa dérivéeCLe sens de variationDLe logarithme décimal

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 03/01/2021 - Conforme au programme 2019-2020

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} et notée \ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :

\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}

Pour tout réel x strictement positif, \ln\left(x\right) est l'unique réel a vérifiant \exp\left(a\right)=x.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

Pour tout réel x :

\ln\left(e^{x}\right) = x

Pour tout réel x strictement positif :

e^{\ln\left(x\right)} = x

\ln\left(1\right) = 0

B

Le signe

  • \forall x\in\left] 0;1 \right], \ln\left(x\right)\leqslant 0
  • \forall x\in\left[ 1;+\infty \right[, \ln\left(x\right)\geqslant 0

On a le tableau de signes suivant :

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y :

\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)

\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)

\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)

\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)

\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)

\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)

\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)

II

Étude du logarithme népérien

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

\lim\limits_{x \to 0^+} \ln\left(x\right) = - \infty

\lim\limits_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty

Croissances comparées

\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0

\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 :

\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1

En posant le changement de variable x=y+1, on a :

\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{\ln\left(1+y\right)}{y}= 1

B

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable (et donc continue) sur \mathbb{R}^{+*}. Pour tout réel x strictement positif :

\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}

Dérivée de \ln\left(u\right)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \ln\left(u\right) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}

Considérons la fonction définie et dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right).

On pose, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

  • u\left(x\right)=2x+1
  • Comme restriction d'une fonction affine à l'intervalle \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ et pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u'\left(x\right)=2

De plus, u\left(x\right)\gt0 sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[.

Donc f=\ln\left(u\right) est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ et f'=\dfrac{u'}{u}.

Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :

f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}.

-

La droite d’équation y = x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1 :

-

De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

-
D

Le logarithme décimal

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur \mathbb{R}_{+}^{*} par :

\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}

  • \log\left(10\right) = 1
  • \log\left(10^n\right) = n, pour tout entier relatif n

\log\left(10^5\right)=5

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  • Formulaire : La fonction logarithme népérien
  • Quiz : La fonction logarithme népérien
  • Méthode : Déterminer le domaine de définition d'une fonction utilisant le logarithme népérien
  • Méthode : Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme pour transformer une expression
  • Méthode : Résoudre une équation avec la fonction logarithme
  • Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction logarithme
  • Méthode : Dériver une fonction comportant un logarithme
  • Exercice : Déterminer la limite d'une expression qui comporte la fonction logarithme
  • Exercice : Déterminer la limite d'une composée de la fonction logarithme
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