Sommaire
1Rappeler ce qu'est l'équation de la trajectoire 2Exprimer le temps 3Substituer le temps par l'expression obtenueLes composantes du vecteur position d'un système en mouvement permettent d'établir l'équation de sa trajectoire.
On considère un système en mouvement dans un référentiel galiléen. L'application de la deuxième loi de Newton et la prise en compte des conditions initiales ont permis d'établir les composantes du vecteur position du système, dans laquelle les équations x(t) et y(t) sont les équations horaires :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t)= v_{0} \times \cos(\alpha) \times t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times t + h \cr \end{cases}
En déduire l'équation de la trajectoire de ce système.
Rappeler ce qu'est l'équation de la trajectoire
On rappelle ce qu'est l'équation de la trajectoire du système en mouvement.
L'équation de la trajectoire du système en mouvement est l'équation donnant sa coordonnée verticale, généralement notée y, en fonction de sa coordonnée horizontale, généralement notée x. Il s'agit donc de l'équation y(x).
Exprimer le temps
On exprime le temps à partir de la composante, ou équation horaire, la plus simple.
Ici, l'équation horaire la plus simple est x(t) :
x(t)= v_{0} \times \cos(\alpha) \times t
L'expression du temps est donc :
t= \dfrac{x}{ v_{0} \times \cos(\alpha)}
Substituer le temps par l'expression obtenue
Dans l'autre composante, ou équation horaire, on substitue le temps par l'expression obtenue précédemment.
L'autre équation horaire est celle-ci :
y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times t + h
L'expression du temps obtenue précédemment est :
t= \dfrac{x}{ v_{0} \times \cos(\alpha)}
On obtient donc :
y(x) =-\dfrac{1}{2} \times g \times (\dfrac{x}{ v_{0} \times \cos(\alpha)})^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times \dfrac{x}{ v_{0} \times \cos(\alpha)} + h
Or :
\dfrac{\sin(\alpha)}{ \cos(\alpha)} = \tan(\alpha)
D'où l'équation de la trajectoire de ce système :
y(x) =-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{g}{ v_{0}^2 \times \cos^2(\alpha)} \times x^2 +\tan(\alpha) \times x + h