Sommaire
1Rappeler la troisième loi de Kepler 2Rappeler l'expression de la période de révolution T déduite de l'application de la deuxième loi de Newton 3Exprimer le rapport \dfrac{T^2}{r^3} à partir de la relation précédente 4Déduire l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler 5Conclure en donnant l'expression de la masse M de l'astre attracteur en fonction des autres paramètres 6Effectuer l'application numériqueOn considère un système S de masse m en mouvement circulaire uniforme autour d'un astre attracteur A de masse M (M étant très grande devant m).
L'application de la troisième loi de Kepler permet d'obtenir une expression théorique de la masse M de l'astre attracteur.
La planète Mars est en orbite quasi-circulaire autour du Soleil. À l'aide de la troisième loi de Kepler, déterminer la masse du Soleil.
Données :
- Constante universelle de gravitation : G=6{,}67\times10^{-11} m3.kg-1.s-2
- Période de révolution de Mars : T=687 j
- Rayon de l'orbite de Mars : r=2{,}3\times10^8 km
Rappeler la troisième loi de Kepler
On rappelle la troisième loi de Kepler qui concerne la période de révolution T (en s) du système S et le rayon de l'orbite r (en m) :
\dfrac{T^2}{r^3} = constante
La troisième loi de Kepler exprime une relation entre la période de révolution T (en s) de la planète et le rayon de l'orbite r (en m) :
\dfrac{T^2}{r^3} = constante
Rappeler l'expression de la période de révolution T déduite de l'application de la deuxième loi de Newton
On rappelle l'expression de la période de révolution T du système S autour de l'astre attracteur A déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :
T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M}}
L'expression de la période de révolution T de la planète Mars autour du Soleil est déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :
T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_S}}
Exprimer le rapport \dfrac{T^2}{r^3} à partir de la relation précédente
On exprime le rapport \dfrac{T^2}{r^3} à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment :
T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M}}
\Leftrightarrow T^2 = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{r^3}{G \times M}
\Leftrightarrow \dfrac{T^2}{r^3} = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{1}{G \times M}
Le rapport \dfrac{T^2}{r^3} à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment s'exprime alors par :
T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_S}}
\Leftrightarrow T^2 = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{r^3}{G \times M_S}
\Leftrightarrow \dfrac{T^2}{r^3} = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{1}{G \times M_S}
Déduire l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler
On déduit du rapport \dfrac{T^2}{r^3} l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :
\dfrac{T^2}{r^3} = constante = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M}
La relation précédente permet d'obtenir l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :
\dfrac{T^2}{r^3} = constante = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M_S}
Conclure en donnant l'expression de la masse M de l'astre attracteur en fonction des autres paramètres
On manipule l'expression pour exprimer la masse M de l'astre attracteur A en fonction des autres paramètres :
\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M}
\Leftrightarrow M \times\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G}
\Leftrightarrow M = \dfrac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times T^2}
On obtient la masse M du Soleil en fonction des autres paramètres :
\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M_S}
\Leftrightarrow M_S \times\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G}
\Leftrightarrow M_S = \dfrac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times T^2}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique.
L'application numérique peut être effectuée avec les données mises dans les bonnes unités :
- Période de révolution de Mars : T=687\times24\times3\ 600=5{,}9\times10^7 s
- Rayon de l'orbite de Mars : r=2{,}3\times10^{11} m
On obtient :
M_S = \dfrac{4 \times \pi^2 \times \left(2{,}3\times10^{11}\right)^3}{6{,}67\times10^{-11} \times \left(5{,}9\times 10^7\right)^2}
M_S=2{,}1\times10^{30} kg