Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux suivies d'analyse d'échantillons récoltés comme par exemple des plumes.
Oie cendrée
Cet exercice s'intéresse dans un premier temps à l'observation d'une oie cendrée à l'œil nu et à l'aide d'une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d'interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d'une plume d'oie.
Données :
- taille approximative d'une oie cendrée : 80 cm ;
- taille approximative du bec d'une oie cendrée : 7 cm ;
- distance focale de l'objectif L_1 de la longue-vue : f_1' = 450 \text{ mm} ;
- distance focale de l'oculaire L_2 de la longue-vue : f_2' = 30 \text{ mm} ;
- relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O : \dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{f'_{\left(\text{m}\right)}}, où \overline{OA'} est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A', \overline{OA} est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et f' est la distance focale de la lentille ;
- grandissement transversal \gamma = \dfrac{\overline{OA'}_{(\text{m})}}{\overline{{OA}_{(\text{m})}}} = \dfrac{\overline{A'B'}_{(\text{m})}}{\overline{{AB}_{(\text{m})}}}, où \overline{A'B'} est la taille algébrique de l'image A'B' et \overline{AB} est celle de l'objet AB ;
- approximation dans le cas de petits angles (\theta \lt \lt 1 \text{ rad}) : \sin\left(\theta\right) = \theta ; \tan\left(\theta\right) = \theta.
1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu
L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association (figure 1) :
- d'une lentille mince convergente L, d'axe optique \Delta, de distance focale f ' = \overline{OF '} = 17 \text{ mm}, de centre optique O ;
- d'un écran situé à une distance D= 17 \text{ mm} du centre optique O.
Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l'œil
La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.
Comment peut-on justifier que la position de l'image A'B' de l'oie par la lentille L est telle que \overline{OA '} = 17 \text{ mm} ?
Dans quelle proposition vérifie-t-on correctement que la taille de l'image A'B' de l'oie sur la rétine de l'observateur est voisine de 49 μm ?
Sachant que la rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F', préciser si l'oie est vue en entier par un observateur.
Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté \alpha_m, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2) ; sa valeur est de 3.10^{–4} \text{ rad}.
Figure 2. L'objet AB est vu sous un angle \alpha par l'œil. Il peut être distinctement vu par l'œil si \alpha \gt \alpha_m.
Quelle est la distance minimale séparant deux points A et B d'un objet pouvant être vus lorsqu'ils sont situés à une distance de 280 m de l'œil ? En déduire si l'oie peut être vue distinctement par l'observateur à l'œil nu puis déterminer si le bec de l'oie peut être observé distinctement.
2. Observation avec une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale
L'oie est désormais observée à l'aide d'une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale. Cette lunette est composée d'une lentille L_1 de distance focale f_1' jouant le rôle de l'objectif et d'une lentille L_2 de distance focale f_2' jouant le rôle de l'oculaire, voir ci-après la figure A1 :
Figure A1
On considère que l'oie, modélisée par un objet AB perpendiculaire à l'axe optique en A, est « à l'infini ». L'image de AB à travers la lentille L_1 est notée A_1B_1. L'image de A_1B_1 à travers la lentille L_2 est notée A_2B_2.
Quelle est la construction correcte permettant de de représenter l'image A_1B_1 formée par la lentille L_1 d'un objet AB (représentant l'oie) situé à l'infini ?
Où doit être situé le foyer objet F_2 de la lentille L_2 ?
Une lunette astronomique est caractérisée par son grossissement d'expression :
G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}
avec \alpha l'angle sous lequel l'objet AB est vu à l'œil nu et \alpha' l'angle sous lequel l'image A_2B_2 est vue à travers la lunette astronomique afocale.
Figure 3. Représentation, sans souci d'échelle, de la lunette astronomique.
En considérant les angles \alpha et \alpha' exprimés en radians comme petits, comment peut-on montrer que le grossissement de la lunette astronomique afocale peut s'exprimer par la relation G = \dfrac{f_1'}{f_2'} ?
Quelle est la valeur du grossissement G de la lunette astronomique afocale ?
L'observateur voit-il distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l'oie située à 280 m ? Justifier.
3. Structure de la plume d'une oie cendrée
Pour identifier l'espèce d'un oiseau, la plume est une des parties du corps de l'animal qu'il est possible d'étudier. Les plumes d'oiseaux sont des objets complexes qui possèdent des structures géométriques périodiques à des échelles différentes, qu'il est possible d'étudier par des méthodes interférométriques.
Plume d'oie
L'expérience des fentes de Young permet d'obtenir sur un écran une figure d'interférences constituée d'une succession de franges brillantes et sombres qui se répartissent sur un axe de direction parallèle à la droite joignant les deux fentes.
La figure 4 donne une schématisation d'une expérience des fentes de Young, de centres F_1 et F_2, ainsi qu'une photographie de la figure d'interférences obtenue.
Figure 4. Schéma du dispositif expérimental.
Un faisceau lumineux issu d'un laser de longueur d'onde \lambda éclaire un objet plan totalement opaque en dehors de deux fentes, séparées d'une distance notée b. Cet objet est appelé objet « fentes de Young ».
Le faisceau est constitué d'un ensemble de rayons parallèles, et se propage parallèlement à l'axe optique (OO'), le point O étant à égale distance des points F_1 et F_2 et le point O' étant situé sur l'écran.
Les ondes issues des fentes interfèrent sur l'écran. En un point M de celui-ci, on admet que la différence de chemin optique entre les deux ondes s'écrit δ = F_2M – F_1M (voir figure 4).
L'écran est situé à une distance D des fentes très grande devant la distance b (D >> b).
Quelle condition doit vérifier la différence de chemin optique \delta pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M ? Indiquer en justifiant dans ce cas si la frange au point O' est brillante ou sombre.
Sur la figure 5, le point H représente le projeté orthogonal de F_1 sur le segment [F_2M]. On admet que la différence de chemin optique \delta est égale à la longueur du segment [F_2H].
Figure 5. Agrandissement du schéma au niveau des fentes de Young
Montrer que, dans les conditions de l'expérience (θ \lt \lt 1 \text{ rad}), il est possible d'exprimer la différence de chemin optique par la relation suivante :
\delta = b \times \theta
On montre, avec une très bonne approximation, que l'angle \widehat{\theta} est égal à l'angle \widehat{O'OM} dans le triangle rectangle O'OM représenté sur la figure 6. L'abscisse du point M sur l'axe O'x est notée x.
Figure 6. Mise en évidence de l'angle \theta dans le triangle O'OM.
Après avoir exprimé l'angle \theta en fonction de D et x, comment peut-on montrer que la différence de chemin optique \delta a pour expression \delta = \dfrac{b \times x}{D} ?
Par déduction, quelle est l'expression des abscisses x_k des franges brillantes, en fonction de \lambda, D, b et d'un entier relatif k ?
Comment peut-on montrer que l'interfrange i est donnée par l'expression littérale i = \dfrac{\lambda \times D}{b} ?
La figure 7 montre qu'une plume d'oie est composée d'un ensemble de barbes (tiges) fixées sur le rachis (axe principal de la plume d'oie). Les barbes supportent des éléments plus petits et fins, invisibles à l'œil nu, appelés « barbules ». Les barbes sont régulièrement espacées d'une distance notée b_{\text{barbe}}, les barbules sont également régulièrement espacées d'une distance notée b_{\text{barbule}} (voir figure 7) et sont dans une direction pratiquement perpendiculaire à celle des barbes. Les barbules sont plus resserrées que les barbes, on a donc b_{\text{barbule}} \lt b_{\text{barbe}}.
Figure 7. Schéma simplifié d'une plume.
On réalise la même expérience que celle décrite dans la figure 4 en remplaçant l'objet « fentes de Young » par une plume d'oie, éclairée avec un laser dont la longueur d'onde est \lambda = 650 \text{ nm}. L'écran est placé à une distance D = 74 \text{ cm} de la plume. On obtient alors une figure d'interférences dont la photographie (en négatif) est donnée sur la figure A2 :
Figure A2
L'écran est rapporté à un repère d'origine O' et d'axes O'x et O'y orthogonaux.
Dans un modèle très simplifié, il est possible de montrer que les interférences sont constructives uniquement en des points de coordonnées (x_k, y_l), vérifiant les relations :
x_k = k\times\dfrac{\lambda \times D}{b_{\text{barbe}}} et y_l = l\times\dfrac{\lambda \times D}{b_{\text{barbule}}}
où k et l sont des entiers relatifs.
Le modèle prévoit que seulement certains de ces points sont lumineux du fait de détails de la géométrie des plumes auxquels on ne s'intéresse pas ici.
Comment peut-on montrer que le modèle simplifié permet d'expliquer certaines caractéristiques de la figure d'interférences observée sur la figure A2 ?
D'après la figure A2, dans quelle proposition évalue-t-on correctement les valeurs des interfranges i_1 et i_2 ?
D'après la figure A2, dans quelle proposition évalue-t-on correctement les valeurs des interfranges i_1 et i_2 et, par déduction, les valeurs des espacements b_{\text{barbule}} et b_{\text{barbe}} ?