Autour de Saturne, Asie 2023 - Tle - Exercice type bac Physique-Chimie

La planète Saturne, connue pour ses anneaux, compte pas moins de 80 satellites naturels ou « lunes ». La plus grande de ces lunes, Titan, n'est pas visible à l'œil nu. Elle a été découverte en 1655 par Christian Huygens (1629-1695) grâce à une lunette astronomique de sa conception. L'une des lunes les plus proches de Saturne est Janus, découverte en 1966 par plusieurs astronomes dont le Français Audouin Dollfus (1924-2010).

Illustration tirée de : starwalk.space/fr

Cet exercice a plusieurs objectifs : justifier l'utilisation d'une lunette astronomique pour observer Titan (parties A et B), étudier ses limites d'observation (partie C), puis étudier le mouvement des anneaux et de Janus (partie D).

Données :

Le diamètre apparent d'un objet, noté \theta, est l'angle sous lequel un objet AB est vu par un observateur :

Document 1 : Diamètre apparent d'un objet et pouvoir séparateur de l'œil.

Le pouvoir séparateur de l'œil, noté \epsilon, est la valeur minimale de l'angle sous lequel les deux points A et B peuvent être vus séparément. Pour l'œil humain, \epsilon = 3.10^{-4} \text{ rad}.
Distance moyenne Titan-Terre : D = 1{,}43.10^9 \text{ km}.
Diamètre de Titan : d = 5{,}2.10^3 \text{ km}.
Angle sous lequel est vue la lune Janus depuis la Terre : \theta_J= 1{,}3.10^{-7} \text{ rad}.
Dans tout l'exercice, les angles sont suffisamment petits pour que l'on puisse faire l'approximation : tan \ \theta \approx \theta, avec \theta en radians.

Partie A ‒ Observation de Titan à l'œil nu

Quelle proposition montre que l'angle \theta sous lequel se présente Titan depuis la Terre vaut approximativement 3{,}6.10^{-6} \text{ rad} ?

\theta \approx \dfrac{d}{D} \approx 3{,}6.10^{-6} \text{ rad}

\theta \approx \dfrac{D}{d} \approx 3{,}6.10^{-6} \text{ rad}

\theta \approx \dfrac{d}{D} \approx 3{,}6.10^{-4} \text{ rad}

\theta \approx \dfrac{D}{d} \approx 3{,}6.10^{-4} \text{ rad}

Quelle proposition justifie que Titan n'est pas observable à l'œil nu ?

Titan n'est pas observable à l'œil nu car \theta \lt \epsilon.

Titan n'est pas observable à l'œil nu car \theta \gt \epsilon.

Titan n'est pas observable à l'œil nu car elle est toujours dans l'ombre de Saturne.

Titan n'est pas observable à l'œil nu car elle est toujours derrière Saturne.

Par déduction, quelle est la valeur G_{\text{min}} du grossissement minimal que doit avoir un instrument d'optique, telle une lunette, pour observer Titan depuis la Terre ?

G_{\text{min}}= \dfrac{\epsilon}{\theta}=83

G_{\text{min}}= \dfrac{\epsilon}{\theta}=25

G_{\text{min}}= \dfrac{\theta'}{\epsilon}=83

G_{\text{min}}= \dfrac{\theta'}{\epsilon}=25

Partie B ‒ Observation de Titan à l'aide d'une lunette astronomique

Une élève se rend à l'Observatoire historique de Marseille pour observer Saturne et ses satellites. Elle fait ses observations à l'aide d'une lunette astronomique dont les caractéristiques sont données ci-dessous :

Objectif, distance focale f'_{\text{ob}} = 3{,}10 \text{ m} et diamètre d_{\text{ob}} = 260 \text{ mm}.
Pour l'oculaire, trois distances focales f'_{\text{oc}} sont possibles : 12 mm, 25 mm, 40 mm.

Le schéma de principe modélisant cette lunette est le suivant :

Schéma de principe modélisant une lunette astronomique

L'objet A_ \infty B_ \infty observé est situé à l'infini, il est perpendiculaire à l'axe optique ; le point A_ \infty est sur l'axe optique. Seuls quelques rayons issus de B_ \infty sont représentés. Les angles ne sont pas à l'échelle. On rappelle qu'un système optique est dit « afocal » s'il donne d'un objet à l'infini une image à l'infini.

Dans quelle proposition a-t-on correctement identifié l'objectif et l'oculaire sur le schéma de principe de la lunette ?

L'objectif est la lentille L_1 et l'oculaire est la lentille L_2.

L'objectif est la lentille L_2 et l'oculaire est la lentille L_1.

L'objectif est la lentille placée la plus proche de l'œil et l'oculaire est la lentille orientée vers l'extérieur.

L'objectif est la lentille située à gauche sur le schéma et l'oculaire est la lentille située à droite.

Sur quelle construction les foyers F_2 et F'_2 de l'oculaire sont-ils correctement placés ?

Quelle est la construction correcte de la marche complète des rayons lumineux incidents issus du point B_ \infty et qui fait apparaître l'image intermédiaire B_ 1 donnée par la lentille L_ 1 ?

Dans quelle proposition établit-on correctement, à partir de la définition du grossissement G, que dans le cas d'une lunette afocale : G=\dfrac{f'_{\text{ob}}}{f'_{\text{oc}}} ?

G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_{oc}'}}{\dfrac{A_1B_1}{f_{ob}'}}= \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'}

G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_{ob}'}}{\dfrac{A_1B_1}{f_{oc}'}}= \dfrac{f_{oc}'}{f_{ob}'}

G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{\dfrac{f_{oc}'}{A_1B_1}}{\dfrac{f_{ob}'}{A_1B_1}}= \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'}

G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{f_{oc}' \times A_1B_1}{f_{ob}' \times A_1B_1}= \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'}

Parmi les différents oculaires disponibles, lequel permet d'obtenir le grossissement maximal et pourquoi ?

Il faut choisir la distance focale de l'oculaire la plus petite car le grossissement de la lunette lui est inversement proportionnel.

Il faut choisir la distance focale de l'oculaire la plus grande car le grossissement de la lunette lui est inversement proportionnel.

Il faut choisir la distance focale de l'oculaire la plus petite car le grossissement de la lunette lui est proportionnel.

Il faut choisir la distance focale de l'oculaire la plus grande car le grossissement de la lunette lui est proportionnel.

Est-il possible d'observer chacune des deux lunes, Titan et Janus, à l'aide de cette lunette ?

Seule Titan est observable à travers la lunette astronomique de Marseille.

Seule Janus est observable à travers la lunette astronomique de Marseille.

Les deux lunes sont observables à travers la lunette astronomique de Marseille.

Aucune des deux lunes n'est observable à travers la lunette astronomique de Marseille.

Quelle estimation peut-on faire de la longueur L de la lunette de l'Observatoire de Marseille en s'appuyant sur le schéma de principe de la lunette et sur les valeurs des distances focales ?

L=f'_{ob} + f'_{oc} \approx 3{,}1 \text{ m}

L=f'_{ob} - f'_{oc} \approx 3{,}1 \text{ m}

L=2\times f'_{ob} + f'_{oc} \approx 6{,}3 \text{ m}

L= f'_{ob} + 2\times f'_{oc} \approx 3{,}2 \text{ m}

Partie C ‒ Limites d'observation de la lunette astronomique

Le grossissement de la lunette n'est pas une donnée suffisante pour être assuré d'observer correctement Titan.

En effet, la lunette astronomique devrait former, à partir d'un point objet, un point image. Mais le caractère ondulatoire de la lumière entraîne la formation d'une tache à la place du point image souhaité. Cette tache, provoquée par la monture de l'objectif de diamètre d_{\text{ob}}, est constituée de cercles lumineux concentriques et appelée tache d'Airy (voir ci-dessous).

Tache d'Airy

Ce phénomène limite le pouvoir de résolution de la lunette :

Le pouvoir de résolution est lié à la capacité à discerner les détails à travers un système optique (microscope, télescope, lunette, œil, etc.). Il est caractérisé par un angle \alpha.

Pour une lunette, il a pour expression :
\alpha = \dfrac{1{,}22 \times \lambda}{d_{\text{ob}}}
où \lambda est la longueur d'onde du faisceau incident et d_{\text{ob}} le diamètre de l'objectif.

La lunette astronomique permet de distinguer deux points à condition que l'écart angulaire \theta' entre ces deux points soit supérieur ou égal à l'angle \alpha (voir figures ci-dessous).

Quel est le phénomène physique qui limite le pouvoir de résolution de la lunette ?

La diffraction de la lumière

La dispersion de la lumière

Les interférences de la lumière

La diffusion de la lumière

Un critère retenu pour voir correctement Titan est de pouvoir distinguer ses pôles, repérés par les points A et B (schéma ci-dessous).

Pour la longueur d'onde du visible \lambda= 550\text{nm} et pour un grossissement G = 260, quelle proposition vérifie que la lunette permet d'observer Titan correctement ?

La lunette permet d'observer Titan correctement car \theta' \gt \alpha.

La lunette permet d'observer Titan correctement car \theta' \lt \alpha.

La lunette ne permet pas d'observer Titan correctement car \theta' \gt \alpha.

La lunette ne permet pas d'observer Titan correctement car \theta' \lt \alpha.

Pourquoi est-il préférable d'utiliser des lunettes avec un objectif ayant un grand diamètre d'ouverture ?

Plus le diamètre de l'objectif est grand, plus le pouvoir de résolution \alpha est petit.

Plus le diamètre de l'objectif est grand, plus le pouvoir de résolution \alpha est grand.

Plus le diamètre de l'objectif est grand, plus le grossissement de la lunette G est petit.

Plus le diamètre de l'objectif est grand, plus le grossissement de la lunette G est grand.

Partie D ‒ Autour de Saturne

Les anneaux de Saturne semblent continus depuis la Terre. En réalité, ils sont constitués de morceaux de glace et de poussières dont la taille maximale est de l'ordre de quelques centaines de mètres. Chacun de ces morceaux, tout comme les lunes en orbite autour de Saturne, obéit aux lois du mouvement d'un satellite dans un champ de gravitation.

Données :

Rayon de Saturne : R_S = 58{,}2.10^3 \text{ km}.
Rayon intérieur du premier anneau : r_\text{int} = 6{,}69.10^4 \text{ km}.
Rayon extérieur du premier anneau : r_\text{ext} = 7{,}45.10^4 \text{ km}.
Rayon extérieur du dernier anneau : R_\text{ext} = 1{,}36.10^5 \text{ km}.
Rayon de l'orbite de Janus : R_\text{J} = 1{,}51.10^5 \text{ km}.
Constante de gravitation universelle : G = 6{,}67.10^{-11} \text{ m}^3\text{ km}^{-1}\text{ s}^{-2}.

La vitesse v, constante, d'un satellite de masse m en orbite circulaire autour de Saturne est donnée par la relation :
v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}} (relation 1)

Où r est le rayon constant de l'orbite du satellite et M_S la masse de Saturne.

En utilisant la deuxième loi de Newton et la loi d'interaction gravitationnelle, quelle démarche permet de retrouver la relation 1 ?

À partir de m\times(\overrightarrow{a_N}+\overrightarrow{a_T})=G \times\dfrac{M_\text{S} \times m}{r^2} \; \overrightarrow{u_N}, on obtient a_N =\dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2} et donc v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}}.

À partir de m\times(\overrightarrow{a_N}+\overrightarrow{a_T})=G \times\dfrac{M_\text{S} \times m}{r} \; \overrightarrow{u_N}, on obtient a_N =\dfrac{v}{r}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2} et donc v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}}.

À partir de m\times(\overrightarrow{a_N}+\overrightarrow{a_T})=G \times\dfrac{M_\text{S} \times 2m}{r} \; \overrightarrow{u_N}, on obtient a_N =\dfrac{v^2}{2r}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r} et donc v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}}.

À partir de m\times(\overrightarrow{a_N}+\overrightarrow{a_T})=G \times\dfrac{M_\text{S} \times 2m}{r^2} \; \overrightarrow{u_N}, on obtient a_N =\dfrac{v^2}{2r^2}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r} et donc v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}}.

Montrer que l'expression de la vitesse du satellite permet de retrouver la troisième loi de Kepler qui relie la période T du satellite au rayon r de son orbite :
T^2 = k.r^3 avec k = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_S}

La vitesse du satellite peut être exprimée par :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M_S}{r} }

D'où :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_S }

La vitesse du satellite peut être exprimée par :
v = \dfrac{T}{2\pi r}= \sqrt{\frac{G \times M_S}{r} }

D'où :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_S }

La vitesse du satellite peut être exprimée par :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{r}{G \times M_S} }

D'où :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_S }

La vitesse du satellite peut être exprimée par :
v = \dfrac{T}{2\pi r} = \sqrt{\frac{r}{G \times M_S} }

D'où :
T^2 = \dfrac{ G\times M_S \times r^3}{4\pi^2 }

Quelle est la masse de Saturne sachant que la période de révolution de Janus est de 17 heures ?

M_S= \dfrac{4\pi^2 R_J^3}{G \times T_J^2 } = \dfrac{4\pi^2 (1{,}51.10^8)^3}{6{,}67.10^{-11} \times (17 \times 3\ 600)^2 }= 5{,}4.10^{26} \text{ kg}

M_S= \dfrac{G \times T_J^2 }{4\pi^2 R_J^3} = \dfrac{6{,}67.10^{-11} \times (17 \times 3\ 600)^2 }{4\pi^2 (1{,}51.10^8)^3}= 5{,}6.10^{24} \text{ kg}

M_S= \dfrac{G \times T_J^2 }{4\pi^2 R_J^3} = \dfrac{6{,}67.10^{-11} \times (17)^2 }{4\pi^2 (1{,}51.10^5)^3}= 5{,}4.10^{26} \text{ kg}

M_S= \dfrac{4\pi^2 R_J^3}{G \times T_J^2 } = \dfrac{4\pi^2 (1{,}51.10^5)^3}{6{,}67.10^{-11} \times (17)^2 }= 5{,}6.10^{24} \text{ kg}

Quelle proposition justifie qualitativement que tous les corps du premier anneau ne tournent pas à la même vitesse autour de Saturne ?

La vitesse d'un satellite de Saturne dépend de la distance qui le sépare du centre de Saturne, distance qui n'est pas la même pour tous les corps du premier anneau.

La vitesse d'un satellite de Saturne dépend de sa masse, masse qui n'est pas la même pour tous les corps du premier anneau.

La vitesse d'un satellite de Saturne dépend de la distance qui le sépare du centre du Soleil, distance qui n'est pas la même pour tous les corps du premier anneau.

La vitesse d'un satellite de Saturne dépend de sa taille, qui n'est pas la même pour tous les corps du premier anneau.

Quel est le nombre de tours effectués par la bordure interne du premier anneau, située à la distance r_{\text{int}}, pendant que la bordure externe du dernier anneau, située à r_{\text{ext}}, réalise un tour complet ?

On peut montrer que \dfrac{T^2_{\text{ext}}}{T^2_{\text{int}}} =\dfrac{R_{\text{ext}}^3}{R_{\text{int}}^3} \approx 3 : la bordure interne du premier anneau effectue environ 3 tours pendant que sa bordure externe réalise un tour complet.

On peut montrer que \dfrac{T^2_{\text{int}}}{T^2_{\text{ext}}} =\dfrac{R_{\text{int}}^3}{R_{\text{ext}}^3} \approx 6 : la bordure externe du premier anneau effectue environ 6 tours pendant que sa bordure interne réalise un tour complet.

On peut montrer que \dfrac{T^2_{\text{int}}}{T^2_{\text{ext}}} =\dfrac{R_{\text{int}}^3}{R_{\text{ext}}^3} \approx 3 : la bordure externe du premier anneau effectue environ 3 tours pendant que sa bordure interne réalise un tour complet.

On peut montrer que \dfrac{T^2_{\text{ext}}}{T^2_{\text{int}}} =\dfrac{R_{\text{ext}}^3}{R_{\text{int}}^3} \approx 6 : la bordure interne du premier anneau effectue environ 6 tours pendant que sa bordure externe réalise un tour complet.