À la découverte de Saturne
La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).
Figure 1. Saturne représentée par Galilée en 1610
Systema Saturnium de Huygens
Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).
Figure 2. Un des premiers dessins de Saturne réalisé par Huygens en 1655
Systema Saturnium de Huygens
Figure 3. Positions respectives de Saturne et de Titan schématisées par Huygens en 1655
Systema Saturnium de Huygens
Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.
Données :
- Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens :
| Distance focale f_1' de l'objectif | Distance focale f_2' de l'oculaire | Diamètre a de l'objectif | Grossissement | |
| Lunette de Galilée utilisée en 1610 | 29,0 mm | G_{Gal} = 14 | ||
| Lunette de Huygens utilisée en 1655 | 329 cm | 7,0 cm | 51,0 mm |
- Un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à 3{,}0.10^{-4} \text{ rad} ;
- Approximation dans le cas de petits angles (\theta \lt \lt 1 \text{ rad}) : \text{tan} (\theta) = \theta ;
- Constante de gravitation universelle : G=6{,}67.10^{-11} \text{ N.m}^{2}\text{kg}^{-2} ;
- Masse de Saturne : M_S=5{,}98.10^{24} \text{ kg} ;
- Masse de Titan : M_T=1{,}34.10^{23} \text{ kg} ;
- Distance moyenne entre la Terre et Saturne : D_{T-S}=1{,}42.10^{9} \text{ km} ;
- Rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne : R=1{,}22.10^{6} \text{ km}.
1. Observation de Saturne par Huygens
La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées \text{L}_1 et \text{L}_2. La lentille \text{L}_1 représente l'objectif et la lentille \text{L}_2 l'oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés \text{O}_1 et \text{O}_2 et leurs distances focales respectives sont notées f_1' et f_2'.
Sur la figure A1, réalisée sans souci d'échelle, sont représentées les deux lentilles et la position du foyer image \text{F'}_1 de la lentille \text{L}_1. La lunette est utilisée pour observer un objet AB, supposé « à l'infini », dont l'image par l'objectif sera notée A_1B_1. Deux rayons lumineux issus de B sont représentés sur le schéma.
Figure A1. Schéma de la lunette de Huygens (échelle non respectée)
Quel est le sens du terme « afocal » ?
Quelle est la représentation correcte des foyers objet \text{F}_2 et image \text{F'}_2 de la lentille \text{L}_2 dans le cas d'une lunette afocale ?
Quelle est la construction représentant correctement la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l'image intermédiaire A_1B_1 ?
La lunette de Huygens est constituée d'un tube long de 372 cm. Comme indiqué sur la figure 4, l'oculaire est placé à une extrémité du tube. L'objectif, quant à lui, est enfoncé de 36 cm par rapport à l'autre extrémité, afin de le protéger de la buée.
Figure 4. Représentation schématique de la lunette de Huygens (échelle non respectée)
Comment peut-on justifier, à partir des données, que la lunette de Huygens peut être considérée comme « afocale » ?
L'angle \theta, représenté sur la figure A1, désigne l'angle sous lequel l'espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l'œil nu depuis la Terre, lorsque les anneaux de Saturne sont vus de face (voir figure 5).
Figure 5. Angle sous lequel Saturne est vue par Huygens sans la lunette (échelle non respectée)
On note \theta' l'angle sous lequel un observateur voit l'image A'B' de l'espace AB, à travers la lunette astronomique.
Quelle est la figure sur laquelle l'angle \theta' est correctement placée ?
Quelle est l'expression du grossissement G_{\text{Huy}} de la lunette de Huygens en fonction des angles \theta et \theta' ?
Quelle affirmation montre que le grossissement G_{\text{Huy}} de la lunette de Huygens s'exprime en fonction des distances focales des lentilles \text{L}_1 et \text{L}_2 constituant la lunette G_{\text{Huy}} = \dfrac{f_1'}{f_2'} ?
Quel est le calcul correct de la valeur du grossissement G_{\text{Huy}} de la lunette utilisée par Huygens ?
Sachant que la distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à D_{A-B}= 3{,}17.10^4 \text{ km} (figure 5), que peut-on en conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette ?
2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique
L'observation des détails d'un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l'image donnée par l'objectif d'une source ponctuelle « à l'infini » n'est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée « tache d'Airy », représentée en figure 6.
Figure 6. Figure de diffraction obtenue par une ouverture circulaire (échelle non respectée – image en négatif)
Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l'angle caractéristique de diffraction vérifie la relation :
\theta_{\text{diff}} = 1{,}22 \times \dfrac{\lambda}{a}
avec \lambda la longueur d'onde du faisceau incident et a le diamètre de l'objectif.
Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l'écart angulaire \theta entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l'angle caractéristique de diffraction, c'est-à-dire si la condition \theta \geqslant \theta_{\text{diff}} est vérifiée. Si ce n'est pas le cas, les taches d'Airy associées aux deux points se superposent et les deux points ne peuvent être séparés visuellement.
Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d'observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer. Une approche quantitative est attendue. On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l'époque est égale à D_{A-B}= 3{,}17.10^4 \text{ km}, et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d'onde \lambda= 550 \text{ nm}, pour laquelle l'œil humain est le plus sensible.
3. Découverte de Titan par Huygens
Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne un point brillant qu'il soupçonne être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelé Titan.
« Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées ; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j'ai dessiné une circonférence de cercle représentant l'orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l'ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j'ai fait circuler le satellite suivant l'ordre naturel des chiffres. [...]
Cherchant ensuite sur cette circonférence l'endroit où le satellite s'était trouvé dans notre première observation et corrigeant plusieurs fois cet endroit, [...] il m'a semblé enfin que tout le mouvement peut être représenté le plus commodément, si dans le cas de la première observation, celle du 25 mars 1655, le satellite est placé auprès du nombre 12. Par suite le satellite de Saturne était le 26 mars auprès du nombre 13, le 27 mars auprès du nombre 14, le 3 avril auprès du nombre 5 et ainsi de suite aux endroits de l'orbite qui correspondent assez bien avec les situations observées la première année. »
D'après Systema Saturnium, Huygens
Comment peut-on justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties ?
Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l'origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet (T, \overrightarrow{u_t}, \overrightarrow{u_n} ). Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution T_{\text{Huy}} de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».
Figure 7. Schéma de la trajectoire de Titan dans le référentiel saturnocentrique
Quelle est l'expression vectorielle de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de G, M_s , M_T, R et de l'un des vecteurs unitaires ?
Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire.
Quelle proposition montre qu'il est uniforme puis que l'expression de la vitesse du satellite s'écrit sous la forme v = \sqrt{\dfrac{G.M_S}{R}} ?
Quelle est l'expression de la période de révolution notée T_{\text{Kep}} de Titan et quelle est sa valeur ?