En utilisant f'
Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Une fonction dérivable f est convexe lorsque sa dérivée est croissante et concave lorsque sa dérivée est décroissante.
Soit f une fonction définie et dérivable sur \left[ -3;3 \right]. On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée f'.
En déduire la convexité de f.
Déterminer les variations de f'
On dresse le tableau de variations de f'. L'information peut être donnée dans l'énoncé, sur un graphique ou dans les questions précédentes.
Grâce à la représentation graphique de f', on obtient le tableau de variations suivant :
Réciter le cours
On rappelle que :
- Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
- Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.
D'après le cours :
- Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
- Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.
Conclure
À l'aide du tableau de variations de f', on conclut sur la convexité de f en donnant les intervalles sur lesquels elle est convexe ou concave.
Ainsi :
- f est concave sur \left[ -3;-1 \right] et sur \left[ 0;3 \right].
- f est convexe sur \left[ -1;0 \right].
En utilisant f''
Une fonction deux fois dérivable f est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive et concave lorsque sa dérivée seconde est négative.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-3x+2
Étudier la convexité de f.
Calculer f''
On justifie que f est dérivable et on calcule f'\left(x\right).
Ensuite, on justifie que f' est dérivable et on calcule f''\left(x\right).
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynomiale et :
\forall x \in \mathbb{R},\ f^{'}\left(x\right)=6x^2+x-3
f' est également dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynomiale et :
\forall x \in \mathbb{R},\ f^{''}\left(x\right)=12x+1
Déterminer le signe de f''
On détermine le signe de f'' et on récapitule le résultat dans un tableau de signes.
Étudions le signe de la dérivée seconde :
Pour tout réel x, f^{''}\left(x\right)\gt0 \Leftrightarrow 12x+1\gt0
\Leftrightarrow12x\gt -1
\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{1}{12}
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Réciter le cours
On rappelle que :
- Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
- Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.
D'après le cours, on sait que :
- Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
- Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.
Conclure
À l'aide du tableau de signes de f''\left(x\right), on donne les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.
Ainsi :
- f est concave sur \left] -\infty;-\dfrac{1}{12} \right].
- f est convexe sur \left[ -\dfrac{1}{12};+\infty \right[.
À l'aide de la courbe représentative de f
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.
Soit f la fonction définie sur \left[ -2;2 \right] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
Déterminer la convexité de f.
Réciter le cours
On rappelle que :
- Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
- Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.
D'après le cours, on sait que :
- Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
- Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.
Étudier la position de la courbe par rapport à ses tangentes
Grâce au graphique, on étudie la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
La courbe représentative de f est :
- En dessous de ses tangentes sur \left[ -2;-1 \right] et sur \left[ 1;2 \right]
- Au-dessus de ses tangentes sur \left[ -1;1 \right]
Conclure
On en déduit les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.
On peut donc en déduire que :
- f est concave sur \left[ -2;-1 \right] et sur \left[ 1;2 \right].
- f est convexe sur \left[ -1;1 \right].